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Teorema das Raízes Racionais

Seja

     [tex]P(x)=c_n x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_1 x+c_0[/tex]

um polinômio de grau [tex]n\in\mathbb{N},\,n\ge 1,[/tex] cujos coeficientes [tex]c_i[/tex] são números inteiros, para todo [tex]i\in\{0,\,1,\,\ldots,\,n\}.[/tex]

Se o número racional [tex]\dfrac{a}{b}[/tex] é raiz de [tex]P(x),[/tex] com [tex]a,\,b\in\mathbb{Z},[/tex] [tex]b\ne 0[/tex] e [tex]\mathrm{mdc}(a,\,b)=1,[/tex] então valem:

     (A)   O numerador [tex]a[/tex] é divisor do coeficiente [tex]c_0.[/tex]

     (B)   O denominador [tex]b[/tex] é divisor do coeficiente [tex]c_n.[/tex]

     [Demonstração]

O racional [tex]\dfrac{a}{b}[/tex] é raiz de [tex]P(x)[/tex]

     [tex]\Longleftrightarrow\quad P\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad c_n\!\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\! n}+c_{n-1}\!\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\! n-1}+\cdots +c_1\!\left(\dfrac{a}{b}\right)+c_0=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad c_n\,\dfrac{a^n}{b^n}+c_{n-1}\,\dfrac{a^{n-1}}{b^{n-1}}+\cdots +c_1\,\dfrac{a}{b}+c_0=0[/tex]

Multiplique ambos os membros por [tex]b^n\ne 0,[/tex] para simplificar os denominadores do lado esquerdo:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad b^n\cdot \left(c_n\,\dfrac{a^n}{b^n}+c_{n-1}\,\dfrac{a^{n-1}}{b^{n-1}}+\cdots +c_1\,\dfrac{a}{b}+c_0\right)=b^n\cdot 0\\\\ \Longleftrightarrow\quad c_na^n+c_{n-1}a^{n-1}b^1+\cdots + c_1 a^1 b^{n-1}+c_0 b^n=0[/tex]

Da última igualdade, segue que

     [tex]\Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{lc} c_n a^n+c_{n-1}a^{n-1}b^1+\cdots+c_1 a^1 b^{n-1}=-c_0b^n&\quad\mathrm{(i)}\\\\ c_{n-1}a^{n-1}b^1+\cdots+c_1 a^1 b^{n-1}+c_0 b^n=-c_n a^n&\quad\mathrm{(ii)} \end{array}\right.[/tex]

Todas as parcelas no lado esquerdo de (i) são divisíveis por [tex]a.[/tex] Logo, [tex]a[/tex] também deve ser um divisor da expressão no lado direito de (i):

     [tex]\Longrightarrow\quad a\mid -c_0 b^n[/tex]

e como [tex]\mathrm{mdc}(a,\,b^n)=1,[/tex] segue que

     [tex]\Longrightarrow\quad a\mid -c_0\\\\ \Longleftrightarrow\quad a\mid c_0[/tex]

De forma análoga, da igualdade (ii), concluímos que [tex]b[/tex] deve ser um divisor da expressão no lado direito:

     [tex]\Longrightarrow\quad b\mid -c_n a^n[/tex]

e como [tex]\mathrm{mdc}(a^n,\,b)=1,[/tex] segue que

     [tex]\Longrightarrow\quad b\mid -c_n\\\\ \Longleftrightarrow\quad b\mid c_n[/tex]

Portanto,

     (A)   o numerador [tex]a[/tex] é divisor do coeficiente [tex]c_0,[/tex]

     (B)   o denominador [tex]b[/tex] é divisor do coeficiente [tex]c_n,[/tex]

como queríamos demonstrar.

Mostrando que a equação n² = 6 não possui raiz racional

[Proposição] O polinômio [tex]P(n)=n^2-6[/tex] não possui raiz racional.

     [Demonstração]

Pelo Teorema das Raízes Racionais, se [tex]P(n)=n^2-6[/tex] possuir alguma raiz racional [tex]\dfrac{a}{b},[/tex] com [tex]a,\,b\in\mathbb{Z},[/tex] [tex]b\ne 0[/tex] e [tex]\mathrm{mdc}(a,\,b)=1,[/tex] então devem valer as seguintes afirmações:

• o numerador [tex]a[/tex] é divisor do coeficiente independente de [tex]n,[/tex]

• o denominador [tex]b[/tex] é divisor do coeficiente do termo de maior grau em [tex]n.[/tex]

No polinômio [tex]P(n),[/tex]

• o coeficiente do termo independente de [tex]n[/tex] é igual a 6,

• o coeficiente do termo de maior grau em [tex]n[/tex] é igual a 1.

Portanto, se [tex]\dfrac{a}{b}[/tex] é raiz de [tex]P(n),[/tex] então

     [tex]\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}a\mid 6\\\\ b\mid 1 \end{array}\right.\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}a\in\{\pm\,1,\,\pm\,2,\,\pm\,3,\,\pm\,6\}\\\\ b\in\{-1,\,1\}\end{array}\right.\\\\ \Longrightarrow\quad \dfrac{a}{b}\in\{\pm\,1,\,\pm\,2,\,\pm\,3,\,\pm\,6\}[/tex]

Contudo, nenhum desses valores possíveis é raiz de [tex]P(n),[/tex] pois

     [tex]P(\pm 1)=(\pm 1)^2-6=-5\ne 0\\\\ P(\pm 2)=(\pm 2)^2-6=-2\ne 0\\\\ P(\pm 3)=(\pm 3)^2-6=3\ne 0\\\\ P(\pm 6)=(\pm 6)^2-6=30\ne 0[/tex]

Então, concluímos que [tex]P(n)[/tex] não possui raiz racional, ou seja, não existe número racional [tex]n,[/tex] tal que [tex]n^2=6.[/tex]     ■

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