Alissonsk
Essas suas respostas estão me ajudando muito. Eu aprendo muito observando exemplos e as passagens estão claras. Estou começando a notar um "padrão" nas respostas que vai me ajudar em outros exercícios por aqui. Obrigado demais!
Lukyo
Olá. Adicionei ao final uma forma diferente para a demonstração. Vale a pena conferir, pois pode ser mais fácil compreender alguma das duas formas.
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[Proposição] Sejam [tex]a,\,b[/tex] números reais. Se [tex]a<b,[/tex] então [tex]a<\dfrac{1}{2}\,(a+b)<b.[/tex]
[Demonstração]
Se [tex]a<b,[/tex] então pela definição da relação <, existe [tex]h>0,[/tex] tal que
[tex]a+h=b\\\\ \Longleftrightarrow\quad a+\left(2\cdot \dfrac{1}{2}\right)\! h=b\\\\ \Longleftrightarrow\quad a+2\cdot\left(\dfrac{1}{2}\,h\right)=b\\\\ \Longleftrightarrow\quad a+2h_1=b\qquad\mathrm{(i)}[/tex]
sendo [tex]h_1=\dfrac{1}{2}\,h>0.[/tex]
De fato, somando [tex]a[/tex] a ambos os lados da igualdade (i), obtemos
[tex]\Longleftrightarrow\quad a+(a+2h_1)=a+b\\\\ \Longleftrightarrow\quad (a+a)+2h_1=a+b\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2a+2h_1=a+b\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2(a+h_1)=a+b\\\\ \Longleftrightarrow\quad a+h_1=\dfrac{1}{2}\,(a+b)[/tex]
Como [tex]h_1>0,[/tex] pela definição da relação <, segue que
[tex]\Longrightarrow\quad a<\dfrac{1}{2}\,(a+b)\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]
De forma análoga, somando [tex]b[/tex] a ambos os membros da igualdade (i), obtemos
[tex]\Longleftrightarrow\quad b+(a+2h_1)=b+b\\\\ \Longleftrightarrow\quad (b+a)+2h_1=2b\\\\ \Longleftrightarrow\quad (a+b)+2h_1=2b\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left(2\cdot \dfrac{1}{2}\right)(a+b)+2h_1=2b\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,(a+b)\right)+2h_1=2b\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,(a+b)+h_1\right)=2b[/tex]
O conjunto dos reais é um corpo, então é também um domínio de integridade e vale a lei do cancelamento.
Como 2 ≠ 0, devemos ter
[tex]\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}\,(a+b)+h_1=b[/tex]
Como [tex]h_1>0,[/tex] pela definição da relação <, segue que
[tex]\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{2}\,(a+b)<b\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]
Por (ii) e (iii), concluímos que
[tex]\Longrightarrow\quad a<\dfrac{1}{2}\,(a+b)<b\qquad\blacksquare[/tex]
─────
Forma alternativa:
[Demonstração]
Temos por hipótese
[tex]a<b\qquad\mathrm{(iv)}[/tex]
Somando [tex]a[/tex] a ambos os lados da desigualdade (iv), obtemos
[tex]\Longleftrightarrow\quad a+a<a+b\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2a<a+b[/tex]
Multiplicando ambos os lados por [tex]\dfrac{1}{2}>0,[/tex] obtemos uma desigualdade equivalente:
[tex]\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}\cdot (2a)<\dfrac{1}{2}\,(a+b)\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left(\dfrac{1}{2}\cdot 2\right)\!a<\dfrac{1}{2}\,(a+b)\\\\ \Longleftrightarrow\quad a<\dfrac{1}{2}\,(a+b)\qquad\mathrm{(v)}[/tex]
De forma análoga, somando [tex]b[/tex] a ambos os lados da desigualdade (iv), obtemos
[tex]\Longleftrightarrow\quad a+b<b+b\\\\ \Longleftrightarrow\quad a+b<2b[/tex]
Novamente, multiplicando ambos os lados por [tex]\dfrac{1}{2}>0,[/tex] obtemos uma desigualdade equivalente:
[tex]\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}\,(a+b)<\dfrac{1}{2}\cdot (2b)\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}\,(a+b)<\left(\dfrac{1}{2}\cdot 2\right)\! b\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}\,(a+b)<b\qquad\mathrm{(vi)}[/tex]
Por (v) e (vi), novamente, concluímos que
[tex]\Longrightarrow\quad a<\dfrac{1}{2}\,(a+b)<b\qquad\blacksquare[/tex]
Dúvidas? Comente.
Bons estudos.