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[tex]\displaystyle \sf \text{Seja o complexo } : \\\\\ z = x+y\cdot i \\\\ tg(\theta) = \frac{y}{x} \to \boxed{\sf \theta = Arc\ tan\left(\frac{y}{x}\right) = arg(z) } \\\\ mas : \\\\ \boxed{\sf arg(z_1) +arg(z_2) = arg(z_1\cdot z_2) }\\\\\\ \text{Da\'i temos} : \\\\ \frac{\pi}{4} = Arc\ tan\left(\frac{1}{2}\right)+Arc\ tan\left(\frac{1}{3}\right) \\\\\\ \text{Fa\c camos}: \\\\ z_1 = 2+i \to arg(z_1) =Arc\ tan\left(\frac{1}{2}\right) \\\\ z_2 = 3+i \to arg(z_2) = Arc\ tan\left(\frac{1}{3}\right)[/tex]

[tex]\displaystyle \sf arg(z_1)+arg(z_2) = Arc\ tan\left(\frac{1}{2}\right)+Arc\ tan\left(\frac{1}{3}\right) \\\\\\ arg(z_1\cdot z_2) = Arc\ tan\left(\frac{1}{2}\right)+Arc\ tan\left(\frac{1}{3}\right) \\\\\ \boxed{\sf z_1\cdot z_2 = (2+i)(3+i) =5+5\cdot i} \\\\\\ arg(z_1\cdot z_2) = Arc\ tan\left(\frac{5}{5}\right) =Arc\ tan\left(1\right)[/tex]

[tex]\displaystyle \sf Da{\'i}}: \\\\\ Arc\ tan\left(1\right) = Arc\ tan\left(\frac{1}{2}\right)=Arc\ tan\left(\frac{1}{3}\right) \\\\\\\ \large\boxed{\sf \ \frac{\pi }{4}\ =Arc\ tan\left(\frac{1}{2}\right)+Arc\ tan\left(\frac{1}{3}\right)\ }\checkmark[/tex]

Argumento principal de um complexo não-nulo

Definimos o argumento principal de um complexo não-nulo da seguinte forma:

     [tex]\begin{array}{lccl}\arg:&\mathbb{C}^*&\to&(-\pi,\,\pi]\\\\ &z&\mapsto&\arg(z)=\min\left\{\theta\in(-\pi,\,\pi]:~~\cos\theta=\dfrac{\mathrm{Re}(z)}{|z|}~~\mathrm{e}~~\mathrm{sen}\,\theta=\dfrac{\mathrm{Im}(z)}{|z|}\right\}\end{array}[/tex]

Então, dado [tex]z=a+bi[/tex] um número complexo, com [tex]a,\,b\in\mathbb{R}[/tex] e [tex]i=\sqrt{-1},[/tex] temos

     [tex]\arg(z)=\arg(a+bi)=\min\left\{\theta\in(-\pi,\,\pi]:~~\cos\theta=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}~~\mathrm{e}~~\mathrm{sen}\,\theta=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right\}.[/tex]

Se Re(a + bi) > 0, então arg(a + bi) = arctg(b/a)

[Proposição 1] Seja [tex]z=a+bi[/tex] um número complexo não-nulo, com [tex]a,\,b\in\mathbb{R}[/tex] e [tex]i=\sqrt{-1}.[/tex]

Se [tex]a=\mathrm{Re}(z)>0,[/tex] então

     [tex]\mathrm{arg}(z)=\mathrm{arctg}\!\left(\dfrac{b}{a}\right)=\mathrm{arctg}\!\left[\dfrac{\mathrm{Im}(z)}{\mathrm{Re}(z)}\right].[/tex]

     [Demonstração]

Seja [tex]\theta=\arg(z).[/tex] Por definição, temos

     [tex]\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}\cos\,\theta=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ \mathrm{sen}\,\theta=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}\right.[/tex]

e [tex]-\pi<\theta\le \pi.[/tex]

Como [tex]a>0,[/tex] temos [tex]\cos\theta>0,[/tex] e segue que

     [tex]\Longrightarrow\quad \mathrm{tg}\,\theta=\dfrac{\mathrm{sen}\,\theta}{\cos\theta}=\dfrac{b}{a}[/tex]

e [tex]-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}.[/tex]

Portanto, pela definição da função arctg, temos

     [tex]\theta=\mathrm{arctg}\!\left(\dfrac{b}{a}\right)\qquad\square[/tex]

Forma trigonométrica de um número complexo

Dado [tex]z=a+bi[/tex] um número complexo não-nulo, com [tex]a,\,b\in\mathbb{R}[/tex] e [tex]i=\sqrt{-1},[/tex] podemos escrever

     [tex]z=|z|\cdot (\cos\theta+i\,\mathrm{sen}\,\theta)[/tex]

sendo [tex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/tex] e [tex]\theta=\arg(z).[/tex]

[Proposição 2] Sejam [tex]z_1[/tex] e [tex]z_2[/tex] dois números complexos não-nulos. Então, existe [tex]k[/tex] inteiro tal que

     [tex]\arg(z_1\cdot z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)+k\cdot 2\pi.[/tex]

     [Demonstração]

Sejam [tex]\theta_1=\arg(z_1)[/tex] e [tex]\theta_2=\arg(z_2).[/tex]

Escrevendo os complexos em sua forma trigonométrica, temos

     [tex]z_1=|z_1|\cdot (\cos\theta_1+i\,\mathrm{sen}\,\theta_1)\\\\ z_2=|z_2|\cdot (\cos\theta_2+i\,\mathrm{sen}\,\theta_2)[/tex]

Efetuando o produto [tex]z_1\cdot z_2,[/tex] temos

     [tex]\Longrightarrow\quad z_1\cdot z_2=|z_1|\cdot (\cos\theta_1+i\,\mathrm{sen}\,\theta_1)\cdot |z_2|\cdot (\cos\theta_2+i\,\mathrm{sen}\,\theta_2)\\\\ \Longleftrightarrow\quad z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|\cdot (\cos\theta_1+i\,\mathrm{sen}\,\theta_1)(\cos\theta_2+i\,\mathrm{sen}\,\theta_2)[/tex]

     [tex]\Longleftrightarrow\quad z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|\cdot (\cos\theta_1\cos\theta_2+i\,\mathrm{sen}\,\theta_1\,\cos\theta_2+i\,\cos\theta_1\,\mathrm{sen}\,\theta_2+i^2\,\mathrm{sen}\,\theta_1\,\mathrm{sen}\,\theta_2)[/tex]

     [tex]\Longleftrightarrow\quad z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|\cdot [(\cos\theta_1\cos\theta_2-\mathrm{sen}\,\theta_1\,\mathrm{sen}\,\theta_2)+i\,(\mathrm{sen}\,\theta_1\,\cos\theta_2+\cos\theta_1\,\mathrm{sen}\,\theta_2)]\\\\ \Longleftrightarrow\quad z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|\cdot [\cos(\theta_1+\theta_2)+i\,\mathrm{sen}(\theta_1+\theta_2)][/tex]

Como [tex]|z_1||z_2|=|z_1\cdot z_2|,[/tex] segue que

     [tex]\Longleftrightarrow\quad z_1\cdot z_2=|z_1\cdot z_2|\cdot [\cos(\theta_1+\theta_2)+i\,\mathrm{sen}(\theta_1+\theta_2)]\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

Seja [tex]\theta=\arg(z_1\cdot z_2).[/tex] Então, temos

     [tex]z_1\cdot z_2=|z_1\cdot z_2|\cdot (\cos\theta+i\,\mathrm{sen}\,\theta)\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]

Por (i) e (ii), obtemos

     [tex]\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}\cos(\theta_1+\theta_2)=\cos\theta\\\\ \mathrm{sen}(\theta_1+\theta_2)=\mathrm{sen}\,\theta\end{array}\right.[/tex]

Então, segue que [tex]\theta[/tex] e [tex]\theta_1+\theta_2[/tex] são arcos côngruos, isto é, existe [tex]k[/tex] inteiro, tal que

     [tex]\Longrightarrow\quad \theta=\theta_1+\theta_2+k\cdot 2\pi\qquad\square[/tex]

Mostrando que π/4 = arctg(1/2) + arctg(1/3)

Sejam [tex]z_1=2+i[/tex] e [tex]z_2=3+i[/tex] dois números complexos, com [tex]i=\sqrt{-1}.[/tex]

• Calculando o produto na forma algébrica:

     [tex]z_1\cdot z_2=(2+i)(3+i)\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]

Pela propriedade distributiva do produto em relação à soma, segue que

     [tex]\Longleftrightarrow\quad z_1\cdot z_2=2(3+i)+i(3+i)\\\\ \Longleftrightarrow\quad z_1\cdot z_2=6+2i+3i+i^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad z_1\cdot z_2=6+2i+3i+(-1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad z_1\cdot z_2=6-1+2i+3i\\\\ \Longleftrightarrow\quad z_1\cdot z_2=5+5i\\\\ \Longleftrightarrow\quad z_1\cdot z_2=5(1+i)\qquad\mathrm{(iv)}[/tex]

• Calculando o produto na forma trigonométrica

Pela proposição 1, temos

     [tex]z_1=2+i\quad\Longrightarrow\quad\mathrm{arg}(z_1)=\mathrm{arctg}\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\\\\z_2=3+i\quad\Longrightarrow\quad \mathrm{arg}(z_2)=\mathrm{arctg}\!\left(\dfrac{1}{3}\right)[/tex]

As partes reais e imaginárias de ambos os números são positivas, podemos concluir que as imagens geométricas de [tex]z_1[/tex] e [tex]z_2[/tex] são pontos do primeiro quadrante:

     [tex]\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}0<\arg(z_1)<\dfrac{\pi}{2}\\\\ 0<\arg(z_2)<\dfrac{\pi}{2}\end{array}\right.[/tex]

Segue que

     [tex]\Longrightarrow\quad 0+0<\arg(z_1)+\arg(z_2)<\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 0<\arg(z_1)+\arg(z_2)<\pi\\\\ \Longleftrightarrow\quad 0<\mathrm{arctg}\!\left(\dfrac{1}{2}\right)+\mathrm{arctg}\!\left(\dfrac{1}{3}\right)<\pi\qquad\mathrm{(v)}[/tex]

isto é, a soma dos argumentos principais está no primeiro ou segundo quadrantes.

Por outro lado, temos

     [tex]z_1\cdot z_2=(2+i)(3+i)=5(1+i)\\\\ \Longrightarrow\quad \arg(z_1\cdot z_2)=\arg[5(1+i)]\\\\ \Longleftrightarrow\quad \arg(z_1\cdot z_2)=\arg(1+i)\\\\ \Longleftrightarrow\quad \arg(z_1\cdot z_2)=\mathrm{arctg}\!\left(\dfrac{1}{1}\right)\\\\ \Longleftrightarrow\quad \arg(z_1\cdot z_2)=\mathrm{arctg}(1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad \arg(z_1\cdot z_2)=\dfrac{\pi}{4}\qquad\mathrm{(vi)}[/tex]

Pela proposição 2, deve existir k inteiro, tal que

     [tex]\arg(z_1\cdot z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)+k\cdot 2\pi\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{\pi}{4}=\mathrm{arctg}\!\left(\dfrac{1}{2}\right)+\mathrm{arctg}\!\left(\dfrac{1}{3}\right)+k\cdot 2\pi\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{\pi}{4}-k\cdot 2\pi=\mathrm{arctg}\!\left(\dfrac{1}{2}\right)+\mathrm{arctg}\!\left(\dfrac{1}{3}\right)\qquad\mathrm{(vii)}[/tex]

Mostremos que [tex]k=0.[/tex] De fato, a soma dos argumentos principais está limitada ao primeiro e segundo quadrantes. Portanto, por (v) e (vii), temos

     [tex]\Longrightarrow\quad 0<\dfrac{\pi}{4}-k\cdot 2\pi<\pi[/tex]

de onde segue que

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 0<\pi(1-8k)<4\pi\\\\ \Longleftrightarrow\quad 0<1-8k<4\\\\ \Longleftrightarrow\quad -4<8k-1<0\\\\ \Longleftrightarrow\quad -4+1<8k<0+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad -3<8k<1[/tex]

O único valor inteiro para k que satisfaz a desigualdade acima é [tex]k=0.[/tex]

Portanto, podemos concluir que

     [tex]\Longrightarrow\quad \dfrac{\pi}{4}=\mathrm{arctg}\!\left(\dfrac{1}{2}\right)+\mathrm{arctg}\!\left(\dfrac{1}{3}\right)\qquad\blacksquare[/tex]

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)