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[Proposição] Sejam [tex]a,\,b[/tex] reais não-negativos. Então

     [tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n}=\max\{a,\,b\}.[/tex]

     [Demonstração]

Suponha sem perda de generalidade que [tex]0\le b\le a.[/tex]

Se [tex]a=0,[/tex] então [tex]b=0,[/tex] de onde segue o resultado por trivialidade.

Se [tex]0<b=a,[/tex] então,

     [tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a^n+b^n)^{1/n}\\\\ =\lim_{n\to\infty}(a^n+a^n)^{1/n}\\\\ =\lim_{n\to\infty}(2a^n)^{1/n}\\\\ =\lim_{n\to\infty}2^{1/n}\cdot (a^n)^{1/n}\\\\ =\lim_{n\to\infty}2^{1/n}\cdot a\\\\ =2^0\cdot a\\\\ =1\cdot a\\\\ =a\\\\ =\max\{a,\,b\}.[/tex]

Se [tex]0\le b<a,[/tex] então

     [tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a^n+b^n)^{1/n}\\\\ =\lim_{n\to\infty}a\cdot \frac{1}{a}(a^n+b^n)^{1/n}\\\\ =\lim_{n\to\infty}a\cdot \frac{(a^n+b^n)^{1/n}}{a}\\\\ =\lim_{n\to\infty}a\cdot \frac{(a^n+b^n)^{1/n}}{(a^n)^{1/n}}\\\\ =\lim_{n\to\infty}a\cdot \Big(\frac{a^n+b^n}{a^n}\Big)^{1/n}\\\\ =\lim_{n\to\infty}a\cdot \Big(1+\frac{b^n}{a^n}\Big)^{1/n}\\\\ =\lim_{n\to\infty}a\cdot \Big(1+\Big(\frac{b}{a}\Big)^n\Big)^{1/n}[/tex]

Como [tex]0\le \dfrac{b}{a}<1,[/tex] segue que [tex]\Big(\dfrac{b}{a}\Big)^n\to 0,[/tex] quando [tex]n\to\infty.[/tex] Então, o limite acima fica

     [tex]=a\cdot (1+0)^0\\\\ =a\cdot 1^0\\\\ =a\cdot 1\\\\ =a\\\\ =\max\{a,\,b\}.[/tex]

Portanto, em qualquer caso, temos

     [tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n}=\max\{a,\,b\}\qquad\qquad\blacksquare[/tex]

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Bons estudos! :-)