Resposta:

Explicação passo a passo:

I) A afirmação (I) pode ser provada pela contraposição. Se a ≠ 0, então existe um μ > 0 tal que 0 < μ < |a|. Nesse caso, temos que 0 < μ < a, o que contradiz a condição 0 ≤ a < μ para todo μ > 0. Portanto, a = 0.

II) A afirmação (II) pode ser provada pela contraposição. Se a > b, então existe um μ > 0 tal que μ < a - b. Nesse caso, temos que a - μ > b, o que contradiz a condição a - μ < b para todo μ > 0. Portanto, a ≤ b.

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Algumas proposições sobre desigualdades entre números reais

[Proposição 1] Sejam a, b números reais. Se a < b, então, existe x real, tal que a < x < b.

[Demonstração] Se a < b, então por definição da relação <, existe h > 0 real, tal que

     a + h = b

Seja [tex]x=a+\dfrac{h}{2}.[/tex]

Como [tex]\dfrac{h}{2}>0,[/tex] temos a < x. Segue que

     [tex]b=a+h\\\\ \Longleftrightarrow\quad b=a+\dfrac{h}{2}+\dfrac{h}{2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad b=x+\dfrac{h}{2}[/tex]

Portanto, x < b.

Pela transitividade da relação <, concluímos que a < x < b, para [tex]x=a+\dfrac{h}{2}.[/tex]     □

[Proposição 2] Seja a um número real. Se 0 ≤ a < μ para todo μ > 0 real, então a = 0.

[Demonstração]

     0 ≤ a < μ

     ⟺   0 ≤ a   e   a < μ

Fixemos a hipótese a < μ como verdadeira, para todo μ > 0. Logo, devemos ter

     ⟹   0 ≤ a

     ⟹   0 < a   ou   0 = a

     ⟹   0 < a   ou   a = 0

Se 0 < a, então, pela proposição 1, existe μ₀ real, tal que 0 < μ₀ < a.

(absurdo, pois contradiz a hipótese de que a < μ, para todo μ > 0 real).

Logo, devemos ter a = 0.     □

[Proposição 3] Sejam a, b números reais. Se a − μ < b, para todo μ > 0 real, então a ≤ b.

[Demonstração]

a − μ < b se e somente se a < b + μ.

Suponha por absurdo que a > b. Logo, existe h > 0, tal que a = b + h.

Substituindo, temos

     ⟹   a < b + μ

     ⟹   b + h < b + μ

     ⟹   h < μ

para todo μ > 0 real.

Além disso, como 0 < h, pela proposição 1, existe μ₀ real, tal que 0 < μ₀ < h.

(absurdo, pois contradiz a hipótese de que h < μ, para todo μ > 0 real).

Portanto, a não pode ser maior que b. Logo, pela tricotomia, devemos ter a ≤ b.     ■

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