Comprove as afirmações no corpo dos números reais:
I) Se 0 ≤ a < μ, ∀ μ > 0, então a = 0.
II) Se a - μ < b, ∀ μ > 0, então, a ≤ b.
Obs:. Ser claro na resposta. Maneiras diferentes de demonstrações são bem-vindas. :)
I) Se 0 ≤ a < μ, ∀ μ > 0, então a = 0.
II) Se a - μ < b, ∀ μ > 0, então, a ≤ b.
Obs:. Ser claro na resposta. Maneiras diferentes de demonstrações são bem-vindas. :)
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Resposta:
Explicação passo a passo:
I) A afirmação (I) pode ser provada pela contraposição. Se a ≠ 0, então existe um μ > 0 tal que 0 < μ < |a|. Nesse caso, temos que 0 < μ < a, o que contradiz a condição 0 ≤ a < μ para todo μ > 0. Portanto, a = 0.
II) A afirmação (II) pode ser provada pela contraposição. Se a > b, então existe um μ > 0 tal que μ < a - b. Nesse caso, temos que a - μ > b, o que contradiz a condição a - μ < b para todo μ > 0. Portanto, a ≤ b.
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Algumas proposições sobre desigualdades entre números reais
[Proposição 1] Sejam a, b números reais. Se a < b, então, existe x real, tal que a < x < b.
[Demonstração] Se a < b, então por definição da relação <, existe h > 0 real, tal que
a + h = b
Seja [tex]x=a+\dfrac{h}{2}.[/tex]
Como [tex]\dfrac{h}{2}>0,[/tex] temos a < x. Segue que
[tex]b=a+h\\\\ \Longleftrightarrow\quad b=a+\dfrac{h}{2}+\dfrac{h}{2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad b=x+\dfrac{h}{2}[/tex]
Portanto, x < b.
Pela transitividade da relação <, concluímos que a < x < b, para [tex]x=a+\dfrac{h}{2}.[/tex] □
[Proposição 2] Seja a um número real. Se 0 ≤ a < μ para todo μ > 0 real, então a = 0.
[Demonstração]
0 ≤ a < μ
⟺ 0 ≤ a e a < μ
Fixemos a hipótese a < μ como verdadeira, para todo μ > 0. Logo, devemos ter
⟹ 0 ≤ a
⟹ 0 < a ou 0 = a
⟹ 0 < a ou a = 0
Se 0 < a, então, pela proposição 1, existe μ₀ real, tal que 0 < μ₀ < a.
(absurdo, pois contradiz a hipótese de que a < μ, para todo μ > 0 real).
Logo, devemos ter a = 0. □
[Proposição 3] Sejam a, b números reais. Se a − μ < b, para todo μ > 0 real, então a ≤ b.
[Demonstração]
a − μ < b se e somente se a < b + μ.
Suponha por absurdo que a > b. Logo, existe h > 0, tal que a = b + h.
Substituindo, temos
⟹ a < b + μ
⟹ b + h < b + μ
⟹ h < μ
para todo μ > 0 real.
Além disso, como 0 < h, pela proposição 1, existe μ₀ real, tal que 0 < μ₀ < h.
(absurdo, pois contradiz a hipótese de que h < μ, para todo μ > 0 real).
Portanto, a não pode ser maior que b. Logo, pela tricotomia, devemos ter a ≤ b. ■
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Bons estudos! :-)