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Resposta:

     [tex]z=2-2\sqrt{3}[/tex] não é raiz da equação, pois [tex](2-2\sqrt{3}\,i)^2\ne 1-\sqrt{3}\,i.[/tex]

O conjunto solução é

     [tex]S=\Big\{-\dfrac{\sqrt{6}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,i,\,\dfrac{\sqrt{6}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,i\Big\}.[/tex]

Resolver a equação quadrática em ℂ

     [tex]z^2=1-\sqrt{3}\,i[/tex]

Seja [tex]z=a+bi,[/tex] com [tex]a,\,b\in\mathbb{R}[/tex] e [tex]i=\sqrt{-1}.[/tex]

Queremos determinar todos os valores possíveis para [tex]a,\,b,[/tex] tais que

     [tex](a+bi)^2=1-\sqrt{3}\,i\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

Expandindo o quadrado do lado esquerdo, temos

     [tex]\Longleftrightarrow\quad (a+bi)(a+bi)=1-\sqrt{3}\,i\\\\ \Longleftrightarrow\quad a(a+bi)+bi(a+bi)=1-\sqrt{3}\,i\\\\ \Longleftrightarrow\quad a^2+(ab)i+(ab)i+(bi)^2=1-\sqrt{3}\,i\\\\ \Longleftrightarrow\quad a^2+(2ab)i+b^2(-1)=1-\sqrt{3}\,i\\\\ \Longleftrightarrow\quad (a^2-b^2)+(2ab)i=1-\sqrt{3}\,i[/tex]

Dois complexos são iguais somente se suas partes reais e partes imaginárias forem respectivamente iguais entre si.

Identificando partes reais e partes imaginárias, chegamos ao seguinte sistema:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{lc}a^2-b^2=1&\quad\mathrm{(ii)}\\\\ 2ab=-\sqrt{3}&\quad\mathrm{(iii)} \end{array}\right.[/tex]

Pela equação (iii), concluímos que [tex]a,\,b[/tex] devem ser reais não-nulos e possuem sinais opostos, pois o produto é negativo.

Isolando [tex]b[/tex] na equação (iii) e substituindo em (ii), temos

     [tex]b=-\dfrac{\sqrt{3}}{2a}\\\\ \Longrightarrow\quad a^2-\Big(-\dfrac{\sqrt{3}}{2a}\Big)^{\! 2}=1\\\\ \Longleftrightarrow\quad a^2-\dfrac{3}{4a^2}=1\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{4a^4-3}{4a^2}=1\\\\ \overset{a\ne 0}{\Longleftrightarrow}\quad 4a^4-3=4a^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4a^4-4a^2-3=0[/tex]

Fazendo uma substituição de variável:

     [tex]a^2=t,\quad\mathrm{com~}t>0[/tex]

Substituindo, a equação fica

     [tex]\Longrightarrow\quad 4t^2-4t-3=0[/tex]

Usando a fórmula resolutiva, obtemos

     [tex]\Delta=(-4)^2-4\cdot 4\cdot (-3)\\\\ \Longleftrightarrow\quad \Delta=16+48=64\\\\\\ t=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{64}}{2\cdot 4}\\\\ \Longleftrightarrow\quad t=\dfrac{4\pm 8}{8}\\\\ \Longleftrightarrow\quad t=\dfrac{4+8}{8}\quad\mathrm{ou}\quad t=\dfrac{4-8}{8}\\\\ \Longleftrightarrow\quad t=\dfrac{12}{8}\quad\mathrm{ou}\quad t=\dfrac{-4}{8}\\\\ \Longleftrightarrow\quad t=\dfrac{3}{2}\quad\mathrm{ou}\quad t=-\,\dfrac{1}{2}[/tex]

O valor negativo para [tex]t[/tex] não se aplica, pois [tex]t=a^2>0.[/tex] Logo, temos

     [tex]\Longrightarrow\quad t=\dfrac{3}{2}[/tex]

Substituindo de volta [tex]t=a^2,[/tex] obtemos

     [tex]a^2=\dfrac{3}{2}\\\\ \overset{a\in\mathbb{R}^*}{\Longleftrightarrow}\quad a=\pm\,\sqrt{\dfrac{3}{2}}[/tex]

Racionalizando o denominador:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad a=\pm\,\dfrac{\sqrt{6}}{2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a=-\,\dfrac{\sqrt{6}}{2}\quad\mathrm{ou}\quad a=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\qquad\mathrm{(iv)}[/tex]

Obtendo o valor de [tex]b[/tex] pelo sistema:

     [tex]b=-\,\dfrac{\sqrt{3}}{2a}[/tex]

• Para [tex]a=-\,\dfrac{\sqrt{6}}{2}:[/tex]

Temos,

     [tex]\Longrightarrow\quad b=-\,\dfrac{\sqrt{3}}{2\cdot (-\frac{\sqrt{6}}{2})}\\\\ \Longleftrightarrow\quad b=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\\\\ \Longleftrightarrow\quad b=\sqrt{\dfrac{3}{6}}\\\\ \Longleftrightarrow\quad b=\sqrt{\dfrac{1}{2}}[/tex]

Racionalizando o denominador:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

• Para [tex]a=\dfrac{\sqrt{6}}{2}:[/tex]

De forma análoga, obtemos

     [tex]\Longrightarrow\quad b=-\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}.[/tex]

Portanto, a solução do sistema é

     [tex](a,\,b)\in \Big\{\Big(-\dfrac{\sqrt{6}}{2},\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Big),\,\Big(\dfrac{\sqrt{6}}{2},\,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)\Big\}[/tex]

e segue que o conjunto solução da equação (i) é

     [tex]S=\Big\{-\dfrac{\sqrt{6}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,i,\,\dfrac{\sqrt{6}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,i\Big\}.[/tex]

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Bons estudos.