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Resposta:

Seja [tex]\left(a_n\right)[/tex] a sequência numérica definida como se segue:

[tex]\[ a_n = \left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,se\,\,n = 1;\\\\ \sqrt{5+a_{n-1}}\,\,\,\,\,\,\,\,se\,\,n \geq 1.\end{array} \right. \][/tex]

Demonstremos que [tex]\left(a_n\right)[/tex] é convergente e encontremos seu limite.

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Teorema: Se uma sequência for crescente e limitada superiormente, então é convergente.

Definição: Uma sequência [tex]\left(a_n\right)[/tex] é dita crescente se [tex]a_n \leq a_{n+1},[/tex] para todo [tex]n \in \mathbb{N}.[/tex]

Demonstremos que [tex]\left(a_n\right)[/tex] é crescente. Façamos por indução sobre n.

• Para [tex]n = 1[/tex], temos:

[tex]0 \leq \sqrt{5}\\\\\Longleftrightarrow 0 + 5 \leq \sqrt{5} + 5\\\\\Longleftrightarrow 5 \leq 5 + \sqrt{5}[/tex]

Como ambos os lados da inequação acima são estritamente positivos, subsiste a implicação:

[tex]\Longrightarrow \sqrt{5} \leq \sqrt{5+\sqrt{5}}[/tex]

Assim, [tex]a_1 \leq a_2.[/tex]

• Admitamos, por hipótese, que [tex]a_k \leq a_{k+1},[/tex] para algum [tex]k \in \mathbb{N}[/tex] genérico, [tex]k \geq 1.[/tex] Temos:

[tex]a_k \leq a_{k+1}\\\\\Longleftrightarrow 5 + a_k \leq 5 +a_{k+1}\\\\\Longrightarrow \sqrt{5 + a_k } \leq \sqrt{5 + a_{k+1}}\\\\\Longleftrightarrow a_{k+1} \leq a_{k+2}\\\\\Longleftrightarrow a_{k+1} \leq a_{\left(k+1\right)+1}[/tex]

Como [tex]a_1 \leq a_2,[/tex] e como [tex]a_k \leq a_{k+1} \Longrightarrow a_{k+1} \leq a_{\left(k+1\right)+1},[/tex] para algum [tex]k \geq 1,[/tex] concluímos que [tex]a_n \leq a_{n+1},[/tex] para todo [tex]n \in \mathbb{N}.[/tex] Portanto, [tex]\left(a_n\right)[/tex] é crescente.

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Definição: Uma sequência [tex]\left(a_n\right)[/tex] é dita superiormente limitada se existir algum [tex]M \in \mathbb{R}[/tex] tal que [tex]a_n \leq M[/tex] para todo [tex]n \in \mathbb{N}.[/tex]

Provemos que [tex]\left(a_n\right)[/tex] é limitada superiormente. Tomemos [tex]M = 3.[/tex]

Façamos por indução sobre n:

• Para [tex]n = 1[/tex], temos:

[tex]5 \leq 9\\\\\Longrightarrow \sqrt{5} \leq \sqrt{9}\\\\\Longleftrightarrow \sqrt{5} \leq 3[/tex]

Logo, [tex]a_1 \leq 3.[/tex]

• Admitamos, por hipótese, que [tex]a_k \leq 3,[/tex] para algum [tex]k \in \mathbb{N}[/tex] genérico, [tex]k \geq 1:[/tex]

[tex]a_k \leq 3\\\\\Longleftrightarrow 5 + a_k \leq 5 + 3\\\\\Longleftrightarrow 5 + a_k \leq 8\\\\\Longrightarrow \sqrt{5 + a_k} \leq \sqrt{8}[/tex]

Ora, [tex]\sqrt{8} \leq \sqrt{9}.[/tex] Assim, por transitividade, temos:

[tex]\Longrightarrow \sqrt{5 + a_k} \leq \sqrt{8} \leq \sqrt{9}\\\\\Longrightarrow \sqrt{5 + a_k} \leq \sqrt{9}\\\\\Longleftrightarrow \sqrt{5 + a_k} \leq 3\\\\\Longleftrightarrow a_{k+1} \leq 3[/tex]

Como [tex]a_1 \leq 3[/tex] e como [tex]a_k \leq 3 \Longrightarrow a_{k+1} \leq 3,[/tex] para algum [tex]k \geq 1,[/tex] concluímos que [tex]a_n \leq 3[/tex] para todo [tex]n \in \mathbb{N},[/tex] ou, em outras palavras, que [tex]3[/tex] é uma cota superior de [tex]\left(a_n\right).[/tex] Assim, [tex]\left(a_n\right)[/tex] é superiormente limitada.

Uma vez que provamos que [tex]\left(a_n\right)[/tex] é crescente e superiormente limitada, segue-se que é convergente.

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Calculemos [tex]\lim_{n \to \infty} \left(a_n\right).[/tex]

Supondo [tex]\lim_{n \to \infty} a_n = L,[/tex] temos [tex]\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = L.[/tex] Calculando limites, obtemos:

[tex]\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1}\\\\ \Longleftrightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{5 + a_n}\right)\\\\\Longleftrightarrow lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{5 + \lim_{n \to \infty} a_n}\\\\\Longleftrightarrow L = \sqrt{5 + L}\\\\ \Longrightarrow L^2 = 5 + L\\\\ \Longleftrightarrow L^2 - L - 5 = 0\\\\\Longrightarrow \boxed{L = \dfrac{1+\sqrt{21}}{2}}[/tex]