Como simplificar a seguinte expressão: (por favor, explicar completamente)
[tex]\frac{\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{b}} }{1+\frac{1}{\sqrt{ab}} }[/tex]
[tex]\frac{\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{b}} }{1+\frac{1}{\sqrt{ab}} }[/tex]
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Resposta: Acompanhe o raciocínio abaixo.
Explicação passo a passo: Temos uma divisão de frações com denominadores racionalizáveis.
Pela regra do conjugado, vamos racionalizar os denominadores:
√a + 1 . √a - 1 = (√a)² - (1)² = a - 1 = ab - b
√b √b (√b)² b b
1 + 1 . 1 - 1 = 1² - 1² = 1 - 1 = ab - 1
√ab √ab √ab ab ab
Na divisão de frações, mantemos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda. Assim,
ab - b ÷ ab - 1 = ab - b . ab = a²b² - ab² coloca ab² em evidência
b ab b ab - 1 ab² - b coloca ab em evidência
ab²(a - 1) = b(a - 1)
ab(b - 1) b - 1