Questão 7
Considere três semicircunferências idênticas, de raio [tex]R[/tex], cujos centros A, B e C são colineares. Um círculo de raio [tex]r[/tex] e centro D tangencia as três semicircunferências.
Qual o valor de [tex]\frac{r}{R}[/tex]?
A) [tex]\frac{1}{3}[/tex]
B)[tex]\frac{1}{4}[/tex]
C)[tex]\frac{1}{2}[/tex]
D)[tex]\frac{1}{8}[/tex]
E)[tex]\frac{1}{6}[/tex]
Considere três semicircunferências idênticas, de raio [tex]R[/tex], cujos centros A, B e C são colineares. Um círculo de raio [tex]r[/tex] e centro D tangencia as três semicircunferências.
Qual o valor de [tex]\frac{r}{R}[/tex]?
A) [tex]\frac{1}{3}[/tex]
B)[tex]\frac{1}{4}[/tex]
C)[tex]\frac{1}{2}[/tex]
D)[tex]\frac{1}{8}[/tex]
E)[tex]\frac{1}{6}[/tex]
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Ligue os centros AD, CD e BD. Daí formaremos um triângulo retângulo de catetos AB e BD e hipotenusa AD, tal que :
[tex]\displaystyle \sf AD = R+r \ \ ;\ AB = R \\\\ \text{Aplicando pitagoras } \\\\ BD^2+AB^2=AD^2 \\\\ BD^2+R^2=(R+r)^2 \\\\ BD^2+R^2=R^2+2Rr+r^2 \\\\ BD^2 =2Rr+r^2 \\\\\ \text{note que } : \\\\ BD + r = R \\\\\ BD = R-r \\\\ \text{Da\'i}: \\\\ (R-r)^2=2Rr+r^2 \\\\ R^2+r^2-2Rr=Rr+r^2\\\\ R^2=4Rr \ ;\ R\neq 0\\\\ R = 4r \\\\\ \large\boxed{\sf \ \frac{r}{R} = \frac{1}{4} \ }\checkmark[/tex]
letra b