Resposta:

Resposta correta: Letra A) 1

Explicação passo a passo:

Olá!

Essa questão é muito interessante!

[tex]\displaystyle \frac{144^{x} + 324^{x}}{64^{x}+729^{x}} = \frac{6}{7}[/tex]

Vamos fatorar estes números grandes e ver como fica:

[tex]\displaystyle \frac{(2^{4} \cdot 3^{2})^{x} + (2^{2} \cdot 3^{4})^{x}}{(2^{6})^{x} + (3^{6})^{x}} = \frac{6}{7}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{2^{4x} \cdot 3^{2x} + 2^{2x} \cdot 3^{4x}}{2^{6x} + 3^{6x}} = \frac{6}{7}[/tex]

Vamos pegar toda esta monstruosidade e dividir por [tex]2^{6x}[/tex]:

[tex]\displaystyle \frac{\frac{2^{4x} \cdot 3^{2x} + 2^{2x} \cdot 3^{4x}}{2^{6x}}}{\frac{2^{6x} + 3^{6x}}{2^{6x}}} = \frac{6}{7}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{\frac{3^{2x}}{2^{2x}} + \frac{3^{4x}}{2^{4x}}}{1+ \frac{3^{6x}}{2^{6x}}} = \frac{6}{7}[/tex]

Observe que o termo [tex]\frac{3}{2}[/tex] se repete com uma potência que podemos extrair um "MDC" = 2x, então podemos mexer um pouco nesta bagunça desta forma:

[tex]\displaystyle \frac{\left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{2x} \right]^{1} + \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{2x} \right]^{2}}{1 + \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{2x} \right]^{3}} = \frac{6}{7}[/tex]

Pra começar a facilitar para nós, vamos atribuir uma variável, assim:

[tex]k = \left( \frac{3}{2} \right)^{2x}[/tex]

E então reescrevemos a equação acima:

[tex]\displaystyle \frac{k + k^{2}}{1 + k^{3}} = \frac{6}{7}[/tex]

Bem mais fácil trabalhar agora. Continuando...

[tex]\displaystyle \frac{k(k + 1)}{(k+1)(k^{2}-k+1)} = \frac{6}{7}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{k}{k^{2}-k+1} = \frac{6}{7}[/tex]

[tex]6(k^{2} - k + 1) = 7k[/tex]

[tex]6k^{2} - 6k + 6 - 7k = 0[/tex]

[tex]6k^{2}-13k+6 = 0[/tex]

[tex]\Delta = b^{2} - 4ac[/tex]

[tex]\Delta = (-13)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 6[/tex]

[tex]\Delta = 169 - 144[/tex]

[tex]\Delta = 25[/tex]

[tex]\displaystyle k' = \frac{-(-13)+\sqrt{25}}{2\cdot6} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}[/tex]

[tex]\displaystyle k'' = \frac{-(-13)-\sqrt{25}}{2\cdot6} = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}[/tex]

Lembrando que:

[tex]\displaystyle k = \left( \frac{3}{2} \right)^{2x}[/tex]

[tex]\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{2x} = \frac{3}{2}\ \Rightarrow \displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{2x} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}[/tex]

[tex]2x = -1[/tex]

[tex]\displaystyle x = -\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{2x} = \frac{2}{3}\ \Rightarrow \displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{2x} = \left( \frac{2}{3} \right)^{1}[/tex]

[tex]2x = 1[/tex]

[tex]\displaystyle x = \frac{1}{2}[/tex]

Finalmente (Ufa!), somamos os módulos de x:

[tex]\displaystyle \left|-\frac{1}{2}\right| + \left|\frac{1}{2}\right| = 1[/tex]

A resposta correta é a letra A.

Espero ter lhe ajudado.

Abraços!