Resposta: O valor da soma

    [tex]\mathrm{tg}^2\,1^\circ+\mathrm{tg}^2\,3^\circ+\mathrm{tg}^2\,5^\circ+\cdots +\mathrm{tg}^2\,89^\circ[/tex]

é igual a 4005.

Explicação passo a passo:

Relação de Girard para a soma das raízes de um polinômio

Dado um polinômio

    [tex]p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0[/tex]

com [tex]a_n\ne 0,[/tex] a soma [tex]S[/tex] das raízes de [tex]p(x)[/tex] é dada por

    [tex]S=-\,\dfrac{a_{n-1}}{a_n}.[/tex]

Calculando a soma pedida

A ideia chave para esta tarefa é encontrar algum polinômio para o qual todas as raízes coincidam com as parcelas da soma.

Para todo [tex]\theta\in\{1^\circ,\,3^\circ,\,5^\circ,\,\ldots,\,89^\circ\},[/tex] temos [tex]\cos(90\cdot \theta)=0,[/tex] visto que todos os múltiplos ímpares de 90º possuem cosseno igual a zero. Esse será o nosso ponto de partida.

Pela fórmula de De Moivre para potências de complexos, temos

    [tex](\cos\theta+i\,\mathrm{sen}\,\theta)^{90}=\cos(90\cdot\theta)+i\,\mathrm{sen}(90\cdot\theta)\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

Expandindo a potência  da soma do lado esquerdo pelo Teorema Binomial, temos

    [tex](\cos\theta+i\,\mathrm{sen}\,\theta)^{90}[/tex]

    [tex]\displaystyle =\sum_{j=0}^{90}\binom{90}{j}(\cos \theta)^{90-j}(i\,\mathrm{sen}\,\theta)^j[/tex]

   [tex]\begin{array}{lll}=&&\!\!\!\dbinom{90}{0}(\cos\theta)^{90}(i\,\mathrm{sen}\,\theta)^0+\dbinom{90}{1}(\cos\theta)^{89}(i\,\mathrm{sen}\,\theta)^1+\dbinom{90}{2}(\cos\theta)^{88}(i\,\mathrm{sen}\,\theta)^2\\\\ &\!\!\!+&\!\!\! \dbinom{90}{3}(\cos\theta)^{87}(i\,\mathrm{sen}\,\theta)^3+\cdots+\dbinom{90}{88}(\cos\theta)^2(i\,\mathrm{sen}\,\theta)^{88}+\dbinom{90}{89}(\cos\theta)^1(i\,\mathrm{sen}\,\theta)^{89}\\\\ &\!\!\!+&\!\!\! \dbinom{90}{90}(\cos\theta)^0(i\,\mathrm{sen}\theta)^{90}\end{array}[/tex]

    [tex]\begin{array}{lll}=&&\!\!\!\dbinom{90}{0}(\cos\theta)^{90}+\dbinom{90}{1}(\cos\theta)^{89}i(\mathrm{sen}\,\theta)+\dbinom{90}{2}(\cos\theta)^{88}i^2(\mathrm{sen}\,\theta)^2\\\\ &\!\!\!+&\!\!\! \dbinom{90}{3}(\cos\theta)^{87}i^3(\mathrm{sen}\,\theta)^3+\cdots+\dbinom{90}{88}(\cos\theta)^2i^{88}(\mathrm{sen}\,\theta)^{88}+\dbinom{90}{89}(\cos\theta)i^{89}(\mathrm{sen}\,\theta)^{89}\\\\ &\!\!\!+&\!\!\! \dbinom{90}{90}i^{90}(\mathrm{sen}\,\theta)^{90}\end{array}[/tex]

Observando que [tex]i^2=-1,[/tex] podemos simplificar as potências da unidade imaginária [tex]i:[/tex]

    [tex]\begin{array}{lll}=&&\!\!\!\dbinom{90}{0}\cos^{90}\theta+\dbinom{90}{1}\cos^{89}\theta\,i\,\mathrm{sen}\,\theta-\dbinom{90}{2}\cos^{88}\theta\,\mathrm{sen}^2\theta\\\\ &\!\!\!-&\!\!\! \dbinom{90}{3}\cos^{87}\theta\,i\,\mathrm{sen}^3\theta+\cdots+\dbinom{90}{88}\cos^2\theta\,\mathrm{sen}^{88}\,\theta+\dbinom{90}{89}\cos\theta\,i\,\mathrm{sen}^{89}\theta\\\\ &\!\!\!-&\!\!\! \dbinom{90}{90}\mathrm{sen}^{90}\theta\end{array}[/tex]

Tomando apenas a parte real dessa expansão, temos

    [tex]\begin{array}{lll}\cos(90\cdot\theta)=&&\!\!\!\dbinom{90}{0}\cos^{90}\theta-\dbinom{90}{2}\cos^{88}\theta\,\mathrm{sen}^2\theta+\dbinom{90}{4}\cos^{86}\theta\,\mathrm{sen}^4\theta\\\\ &\!\!\!-&\!\!\! \dbinom{90}{6}\cos^{84}\theta\,\mathrm{sen}^6\theta+\cdots-\dbinom{90}{86}\cos^4\theta\,\mathrm{sen}^{86}\,\theta+\dbinom{90}{88}\cos^2\theta\,\mathrm{sen}^{88}\theta\\\\ &\!\!\!-&\!\!\! \dbinom{90}{90}\mathrm{sen}^{90}\theta\end{array}[/tex]

    [tex]\displaystyle \Longleftrightarrow\quad \cos(90\cdot\theta)=\sum_{k=0}^{45}\binom{90}{2k}(-1)^k(\cos\theta)^{90-2k}(\mathrm{sen}\,\theta)^{2k}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \cos(90\cdot\theta)=\sum_{k=0}^{45}\binom{90}{2k}(-1)^k(\cos\theta)^{90}\cdot \frac{(\mathrm{sen}\,\theta)^{2k}}{(\cos\theta)^{2k}}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \cos(90\cdot\theta)=\cos^{90}\theta\cdot \sum_{k=0}^{45}\binom{90}{2k}(-1)^k\cdot \left(\frac{\mathrm{sen}\,\theta}{\cos\theta}\right)^{\! 2k}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \cos(90\cdot\theta)=\cos^{90}\theta\cdot \sum_{k=0}^{45}\binom{90}{2k}(-1)^k\cdot (\mathrm{tg}^2\,\theta)^{k}[/tex]

Como [tex]\cos\theta\ne 0[/tex] para todo [tex]\theta\in\{1^\circ,\,3^\circ,\,5^\circ,\,\ldots,\,89^\circ\},[/tex] podemos simplificar o fator [tex]\cos^{90}\theta,[/tex] e a equação acima fica

    [tex]\displaystyle \Longrightarrow\quad \cos(90\cdot\theta)=\sum_{k=0}^{45}\binom{90}{2k}(-1)^k\cdot (\mathrm{tg}^2\,\theta)^k[/tex]

Como observamos no início, [tex]\cos(90\cdot\theta)=0,[/tex] para todo [tex]\theta\in\{1^\circ,\,3^\circ,\,5^\circ,\,\ldots,\,89^\circ\}.[/tex] Portanto, devemos ter

    [tex]\displaystyle \Longrightarrow\quad \sum_{k=0}^{45}\binom{90}{2k}(-1)^k\cdot (\mathrm{tg}^2\,\theta)^{k}=0\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]

para todo [tex]\theta\in\{1^\circ,\,3^\circ,\,5^\circ,\,\ldots,\,89^\circ\}.[/tex]

Façamos uma mudança de variável. Chamemos

    [tex]\mathrm{tg^2}\,\theta=u[/tex]

com [tex]\theta\in\{1^\circ,\,3^\circ,\,5^\circ,\,\ldots,\,89^\circ\}.[/tex] Então, temos

    [tex]\displaystyle \Longrightarrow\quad \sum_{k=0}^{45}\binom{90}{2k}(-1)^k\cdot u^k=0[/tex]

Multiplicando ambos os lados por [tex]-1,[/tex] para ajustar o sinal do coeficiente de [tex]u^{45},[/tex] temos

    [tex]\displaystyle \Longleftrightarrow\quad (-1)\cdot \sum_{k=0}^{45}\binom{90}{2k}(-1)^k\cdot u^k=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad \sum_{k=0}^{45}\binom{90}{2k}(-1)\cdot (-1)^k\cdot u^k=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad \sum_{k=0}^{45}\binom{90}{2k} (-1)^{k+1}\cdot u^k=0\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]

O lado esquerdo é um polinômio de grau 45 na variável u, e como está igualado a zero, concluímos que

     [tex]\mathrm{tg}^2\,1^\circ,\,\mathrm{tg}^2\,3^\circ,\,\mathrm{tg}^2\,5^\circ,\,\ldots,\,\mathrm{tg}^2\,89^\circ[/tex]

são todas as 45 raízes deste polinômio.

Logo, pelas relações de Girard para a soma das raízes do polinômio, concluímos que a soma [tex]S[/tex] deve ser igual ao oposto da divisão do coeficiente de [tex]u^{44}[/tex] pelo coeficiente de [tex]u^{45}:[/tex]

    [tex]S=\mathrm{tg}^2\,1^\circ+\mathrm{tg}^2\,3^\circ+\mathrm{tg}^2\,5^\circ+\cdots+\mathrm{tg}^2\,89^\circ\\\\ =-\,\dfrac{-\,\binom{90}{88}}{\binom{90}{90}}\\\\ =\dfrac{\binom{90}{88}}{1}\\\\ =\dfrac{90}{88!\cdot (90-88)!}\\\\\\=\dfrac{90\cdot 89\cdot 88!}{88!\cdot 2!}\\\\\\=\dfrac{90\cdot 89}{2\cdot 1}\\\\ =4005[/tex]

sendo esta a resposta.

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Bons estudos!