Limites indeterminados

Neste caso o limite é indeterminado, pois [tex]\underset{X\to P}{\ell im}\dfrac{\sqrt{X}-\sqrt{P}}{\sqrt{X+P} -\sqrt{2P} } =\dfrac{0}{0}[/tex].

Para resolvermos casos de indeterminação é comum usar L'hospital ou alguns "artifícios" de fatoração.

Resolução

Por L'hospital basta derivar o numerador e denominador de modo que não tenhamos uma indeterminação. Assim

[tex](\sqrt{X} -\sqrt{P})'= (X^{\frac{1}{2} })'-(\sqrt{P} )'=\dfrac{X^{\frac{1}{2}-1 }}{2} -0=\dfrac{X^{-\frac{1}{2}}}{2} =\bf \dfrac{1}{2\sqrt{X} }[/tex]

Esse vai ser o nosso "novo" numerador. Derivando o denominador

[tex](\sqrt{X+P}-\sqrt{2P})'=((X+P)^{\frac{1}{2}})'=\dfrac{(X+P)^{-\frac{1}{2} }}{2} \cdot 1=\bf \dfrac{1}{2\sqrt{X+P} }[/tex]

Esse vai ser o nosso "novo" denominador. Logo

[tex]\underset{X\to P}{\ell im}\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{X} } }{\frac{1}{2\sqrt{X+P}}}=\underset{X\to P}{\ell im}\dfrac{1}{\sqrt{X} } \cdot\dfrac{\sqrt{X+P} }{1 } =\underset{X\to P}{\ell im}\dfrac{\sqrt{X+P} }{\sqrt{X} }[/tex]

[tex]=\dfrac{\sqrt{P+P} }{\sqrt{P} }=\dfrac{\sqrt{2P} }{\sqrt{P} } =\dfrac{\sqrt{2}.\sqrt{P} }{\sqrt{P} } =\bf \sqrt{2}[/tex]

Portando

[tex]\boxed{\bf\underset{X\to P}{\ell im}\dfrac{\sqrt{X}-\sqrt{P}}{\sqrt{X+P} -\sqrt{2P} } =\sqrt{2} }~~\checkmark[/tex]