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Resposta:

     Conjunto solução:  S = {2}.

Explicação passo a passo:

Seja [tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] a função cuja lei é dada por

     [tex]f(x)=5^x-3^x[/tex]

para todo x real.

Só estamos interessados em valores positivos para x, pois caso contrário, o valor da função seria menor ou igual que zero. De fato,

     [tex]x\le 0\quad\mathrm{e}\quad\dfrac{5}{3}>1\\\\ \Longrightarrow\quad \left(\dfrac{5}{3}\right)^{\! x}\le 1\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{5^x}{3^x}\le 1\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{5^x}{3^x}-1\le 0\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{5^x-3^x}{3^x}\le 0[/tex]

Como o denominador [tex]3^x>0,[/tex] devemos ter

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 5^x-3^x\le 0\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(x)\le 0.[/tex]

Mostrando que f(x) é injetora para x > 0

[Proposição 1] A função [tex]f(x)=5^x-3^x[/tex] é injetora para todo x > 0.

     [Demonstração]

Sejam [tex]a,\,b\in\mathbb{R}_+^*[/tex] tais que [tex]f(a)=f(b).[/tex]

Suponha por absurdo que [tex]a\ne b,[/tex] e sem perda de generalidade, suponha que [tex]a<b.[/tex]

Logo, pela definição da relação <, existe um [tex]h>0[/tex] real, tal que

     [tex]a+h=b[/tex]

No entanto, como h > 0, temos

     [tex]3^h<5^h[/tex]

Multiplicando ambos os lados por [tex]3^a>0,[/tex] temos

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 3^a\cdot 3^h<3^a\cdot 5^h[/tex]

Subtraia [tex]3^a[/tex] de ambos os membros:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 3^a\cdot 3^h-3^a<3^a\cdot 5^h-3^a\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3^a(3^h-1)<3^a(5^h-1)\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

Por outro lado, como h > 0, temos também

     [tex]5^h>1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 5^h-1>0\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]

e também

     [tex]3^a<5^a\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]

para [tex]a>0.[/tex]

Multiplique os dois lados de (iii) por [tex]5^h-1>0:[/tex]

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 3^a(5^h-1)<5^a(5^h-1)\qquad\mathrm{(iv)}[/tex]

Por (i) e (iv), concluímos que

     [tex]\Longrightarrow\quad 3^a(3^h- 1)<3^a(5^h-1)<5^a(5^h-1)\\\\ \Longrightarrow\quad 3^a(3^h- 1)<5^a(5^h-1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3^a\cdot 3^h-3^a<5^a\cdot 5^h-5^a\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3^{a+h}-3^a<5^{a+h}-5^a\\\\ \Longleftrightarrow\quad 5^a-3^a<5^{a+h}-3^{a+h}\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(a)<f(a+h)\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(a)<f(b)[/tex]

(absurdo, pois contradiz a hipótese de que [tex]f(a)=f(b)[/tex]).

Logo, não podemos ter a < b.

Analogamente, é possível mostrar que não podemos ter a > b.

Logo, pela tricotomia, devemos ter a = b. Portanto, f é injetora, para todo x > 0.     □

Resolvendo a equação f(x) = 16

Observamos que x = 2 é uma solução para a equação [tex]f(x)=16,[/tex] pois

     [tex]f(2)=5^2-3^2=16[/tex]

e pela proposição 1, garantimos que esta é a única solução, pois [tex]f(x)=5^x-3^x[/tex] é injetora para todo x > 0.

Logo, o conjunto solução é

     S = {2}.

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Bons estudos! :-)