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Resposta:

Seja [tex]A[/tex] definido por:

[tex]A = \dfrac{-1+3x}{1+x} - \dfrac{\sqrt{|x| - 2} + \sqrt{2-|x|}}{\left|2-x\right|}[/tex]

onde [tex]x \in \mathbb{R}.[/tex]

Notemos que, para que a expressão que define [tex]A[/tex] tenha significado em [tex]\mathbb{R}[/tex], quatro condições devem ser simultaneamente satisfeitas:

I. A expressão [tex]1 + x[/tex], que é denominador de uma fração, deve ser não nula:

[tex]1 + x \neq 0\\\\\Longleftrightarrow x \neq -1[/tex]

II. O radicando em [tex]\sqrt{|x|-2}[/tex] deve ser não negativo:

[tex]|x| - 2 \geq 0\\\\\Longleftrightarrow |x| \geq 2\\\\\Longleftrightarrow x \leq -2 \,\,\, ou\,\,\, x \geq 2[/tex]

III. O radicando em [tex]\sqrt{2 - |x|}[/tex] deve ser não negativo:

[tex]2 - |x| \geq 0\\\\\Longleftrightarrow |x| \leq 2\\\\\Longleftrightarrow -2 \leq x \leq 2[/tex]

IV. A expressão [tex]\left|2-x\right|[/tex] deve ser não nula, uma vez que é denominador de uma fração:

[tex]\left|2-x\right| \neq 0\\\\\Longleftrightarrow 2 - x \neq 0\\\\\Longleftrightarrow x \neq 2[/tex]

O único valor real que satisfaz simultaneamente às quatro condições acima é [tex]x = -2.[/tex]

Substituindo [tex]x[/tex] por [tex]-2[/tex] na expressão que define [tex]A[/tex], temos:

[tex]A = \dfrac{-1 + 3 \cdot \left(-2\right)}{1 + \left(-2\right)} - \dfrac{\sqrt{\left|-2\right| - 2} + \sqrt{2 - \left|-2\right|}}{\left|2 - \left(-2\right)\right|}\\\\\\\Longleftrightarrow A = \dfrac{-1 -6}{-1} - \dfrac{\sqrt{0} + \sqrt{0}}{|4|}\\\\\\\Longleftrightarrow A = \dfrac{-7}{-1} - \dfrac{0}{4}\\\\\\\Longleftrightarrow \boxed{A = 7}[/tex]

Como [tex]A = 7,[/tex] segue-se que [tex]A \in \mathbb{Z}.[/tex]

As potências de [tex]7[/tex] seguem um padrão tal que sempre terminam em 7, 9, 3 ou 1:

[tex]7^1 = 7\\\\7^2 = 49\\\\7^3 = 343\\\\7^4 = 2401\\\\7^5 = 16807\\\\...[/tex]

Como 2003 mod 4 = 3, segue-se, pelo padrão observado acima, que o algarismo das unidades de [tex]7^{2003}[/tex] é 3.