Resposta: Alternativa C.

Explicação:

Queremos calcular o valor da seguinte expressão:

[tex]\large\mathsf{\sqrt{72+\sqrt{72+\sqrt{72+...}}}\qquad(i)}[/tex]

Para calcular o valor de toda essa sequência infinita de raízes quadradas, vamos igualar toda essa expressão a um número real k.

[tex] \large\mathsf{\sqrt{72+\sqrt{72+\sqrt{72+...}}}=k}\\\\\\ \large\mathsf{72+\underbrace{\large \mathsf{\sqrt{72+\sqrt{72+\sqrt{72+...}}}}}_{\sf k}=k^2}\qquad(ii)}[/tex]

Agora, observe que um dos termos (segundo termo) da soma localizada dentro do primeiro radical de (i) também é uma expressão infinita e, além disso, é exatamente igual a k. Portanto, para encontrar o valor de k, deve-se partir da equação (ii).

Se substituirmos k no termo correspondente, temos que esta expressão infinita torna-se a seguinte equação quadrática:

[tex]\mathsf{\Longrightarrow\quad k^2=k+72}\\\\ \mathsf{\iff\quad \, k^2-k-72=0}\\\\\ \mathsf{\iff\quad \,k^2+8k-9k-72=0}\\\\\ \mathsf{\iff\quad \,k\big(k+8\big)-9\big(k+8\big)\!=0}\\\\\ \mathsf{\iff\quad \,\big(k+8\big)\!\big(k-9\big)\!=0}\\\\\ \mathsf{\iff\quad\,k-9=0\ \ \big(k > 0\big)}\\\\\ \mathsf{\iff\quad\,\boxed{\sf k=9}}[/tex]

Obs: A raiz quadrada de um número positivo também é positiva, portanto não faz sentido que o resultado de toda essa soma seja um número menor que 0, então qualquer solução do tipo k < 0 é descartada.

Do valor de k obtido anteriormente podemos concluir que o valor de toda essa soma infinita é:

[tex]\red{\boxed{\large\mathsf{\sqrt{72+\sqrt{72+\sqrt{72+...}}}=9}}}[/tex]