Resposta:

π^2/12

Explicação passo a passo:

Passo 1: Estender a função integrada para o plano complexo.

Definimos uma nova função f(z) no plano complexo substituindo x por z. Portanto,

f(z) = (log z)/(e^z + 1)

onde log representa o valor principal do logaritmo complexo. Observe que essa função tem um polo simples em z = iπ, que fica dentro do contorno de integração.

Passo 2: Escolher o contorno de integração.

Escolhemos um contorno que inclua o eixo real positivo e tenha uma semicircunferência com raio R centrada na origem. O contorno deve ser escolhido de tal forma que não haja outros polos dentro dele, exceto aqueles na borda do contorno, onde a função pode ter comportamento singular.

Aqui podemos escolher o contorno retangular que tem os vértices -R - iπ, -R + iπ, R + iπ e R - iπ, onde R > 0. Esse contorno inclui o eixo real positivo e um semicírculo com raio R centrado na origem.

Passo 3: Aplicar o teorema dos resíduos.

O teorema dos resíduos afirma que a integral ao longo do contorno fechado é igual a 2πi vezes a soma dos resíduos de f(z) nos seus polos dentro do contorno. Portanto,

∫[C_R] f(z) dz = 2πi Res[f, iπ]

ou seja,

∫[-R,R] (log x)/(e^x + 1) dx + ∫[γ_R] f(z) dz = 2πi Res[f, iπ]

onde γ_R é a semicircunferência com raio R centrada na origem e orientada no sentido anti-horário.

Passo 4: Mostrar que a integral ao longo da semicircunferência tende a zero quando R tende ao infinito.

Para mostrar que essa integral tende a zero quando R tende ao infinito, aplicamos a desigualdade triangular para obter:

|∫[γ_R] f(z) dz| <= ∫[γ_R] |f(z)| |dz| <= πR * M

onde M é um limite superior para |f(z)| ao longo de γ_R. Como M é finito, isso implica que a integral ao longo da semicircunferência tende a zero quando R tende ao infinito.

Passo 5: Calcular o resíduo em z = iπ.

O resíduo de f(z) em z = iπ pode ser calculado usando a expansão em série de Laurent da função ao redor desse ponto. A expansão é dada por:

f(z) = Sum[k=-1,inf] c_k (z - iπ)^k

onde

c_{-1} = lim_{z->iπ} (z - iπ) f(z).

Podemos calcular c_{-1} substituindo z = iπ na função f(z):

c_{-1} = lim_{z->iπ} (z - iπ) (log z)/(e^z + 1)

      = 1/(2iπ) * lim_{z->iπ} log z * (z - iπ)/(e^z + 1)

      = 1/(2iπ) * log(iπ) = -i/2

Portanto, o resíduo em z = iπ é -i/2.

Passo 6: Calcular a integral.

Substituindo os valores encontrados nos passos anteriores, obtemos:

∫[-R,R] (log x)/(e^x + 1) dx + ∫[γ_R] f(z) dz = 2πi Res[f, iπ]

Tomando o limite quando R tende ao infinito e usando o resultado do Passo 4, obtemos:

∫[0,∞) (log x)/(e^x + 1) dx + 0 = 2πi (-i/2)

Simplificando, obtemos:

∫[0,∞) (log x)/(e^x + 1) dx = π^2/12

Portanto, a solução para a integral original é π^2/12.