Resposta:  O conjunto solução para a equação dada é

     [tex]S=\{-2023,-1,0,1\}.[/tex]

Uma propriedade da potenciação nos reais

Dados a, b reais, temos [tex]a^b=1[/tex] apenas se alguma das seguintes afirmativas for verdadeira:

     •   a = 1

     •   a ≠ 0  e  b = 0

     •   a = − 1  e  b ∈ {2n: com n ∈ ℤ}   (conjunto dos inteiros pares).

Resolvendo a equação dada

Queremos encontrar os valores de x ∈ ℝ, tais que

     [tex](x^3-x+1)^{x+2023}=1[/tex]

Portanto, devemos analisar cada um dos casos em que a potência no lado esquerdo é igual a 1.

     •   Caso 1:   [tex]x^3-x+1=1.[/tex]

Então, segue que

     [tex]\Longleftrightarrow\quad x^3-x=1-1\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^3-x=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad x(x^2-1)=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad x(x-1)(x+1)=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=0\quad\mathrm{ou}\quad x-1=0\quad\mathrm{ou}\quad x+1=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=0\quad\mathrm{ou}\quad x=1\quad\mathrm{ou}\quad x=-1\quad\mathrm{(i)}[/tex]

     •   Caso 2:   [tex]x+2023=0[/tex]   e   [tex]x^3-x+1\ne 0.[/tex]

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}x+2023=0\\\\ x^3-x+1\ne 0 \end{array}\right.[/tex]

Da primeira sentença do sistema, obtemos

     [tex]\Longrightarrow\quad x=-2023\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]

Substituindo na segunda sentença, observamos que

     [tex](-2023)^3-(-2023)+1\\\\ =(-2023)\cdot ((-2023)^2-1)+1\\\\ =-2023\cdot (2023-1)\cdot (2023+1)+1\\\\ =-2023\cdot 2022\cdot 2024+1<0\\\\ \Longrightarrow\quad (-2023)^3-(-2023)+1\ne 0\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]

Por (ii) e (iii), concluímos que x = − 2023 é a única solução para este caso.

     •   Caso 3:   [tex]x^3-x+1=-1[/tex]   e   [tex]x+2023[/tex] é um inteiro par.

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}x^3-x+2=0\\\\ x\in\{2n+1:~n\in\mathbb{Z}\}\quad\mathsf{(inteiros~\acute{i}mpares)} \end{array}\right.[/tex]

O termo independente de x do polinômio [tex]p(x)=x^3-x+2[/tex] é igual a 2 e o coeficiente do termo de maior grau x³ é igual a 1.

Logo, pelo Teorema das Raízes Inteiras, se [tex]p(x)[/tex] tem alguma solução inteira, então x deve ser um divisor de 2/1 = 2.

Além disso, x deve ser um inteiro ímpar. Logo, x é um divisor ímpar de 2, ou seja, x ∈ {− 1, 1}.

No entanto, tais valores para x não são raízes do polinômio [tex]p(x)=x^3-x+2.[/tex]

Logo, não há solução para o caso 3.

Reunindo as soluções obtidas para todos os casos, o conjunto solução é

     [tex]S=\{0,1,-1\}\cup\{-2023\}\cup\varnothing\\\\ \Longleftrightarrow\quad S=\{-2023,-1,0,1\}[/tex]

sendo esta a resposta.

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Bons estudos! :-)