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Uma função é dita bijetora quando é simultaneamente injetora e sobrejetora. A função inversa, como o nome já sugere, é a função [tex]f(x)^-^1[/tex], que faz exatamente o inverso da função f(x). Foi possível demonstrar que uma função é invertível se, e somente se,  é bijetora.

Função Bijetora

Definições

(1) Uma relação [tex]R\subseteq A\times B[/tex] é injetora se [tex](x_1,y) \in R[/tex] e [tex](x_2,y) \in R[/tex] implica [tex]x_1=x_2[/tex] ;

(2) Dizemos uma função [tex]f:A\to B[/tex], é uma sobrejeção de A em B se [tex]\forall y\in B[/tex] [tex]\exists x \in A (f(x)=y).[/tex]. Neste caso também chamaremos f uma sobrejeção de A para B;

(3) Dizemos uma função f:A→B, é dito ser uma bijeção de A para B se é injetora e sobrejetora;

(4) Uma função f de um conjunto A para um conjunto B é uma relação de A para B para o qual [tex](((x,y_1) \in f) \land ((x,y_2) \in f)) \rightarrow y_1=y_2[/tex]

Demonstração: Segue diretamente das definições. Para isso, visualizemos os mapeamentos como relações. Um mapeamento [tex]f:A\rightarrow B[/tex] é uma relação [tex]f\subseteq A\times B[/tex] que é esquerda-total:

• [tex]\forall x\in A\exists y\in B[xfy][/tex]

e único à direita

• [tex]\forall x\in A\forall y,y'\in B[xAy\wedge xAy'\rightarrow y=y'].[/tex]

Um mapeamento f é injetivo (único à esquerda) se:

• [tex]\forall x,x'\in A\forall y\in B[xAy\wedge x'Ay\rightarrow x=x'].[/tex]

Um mapeamento f é sobrejetivo (total à direita) se:

• [tex]\forall y\in B\exists x\in A[xAy].[/tex]

então f é bijetivo significa que f é total à esquerda, exclusivo à direita, total à direita e exclusivo à esquerda. Observe que a relação inversa [tex]f^{-1}\subseteq B\times A[/tex] sempre existe. (Indo de f para [tex]f^{-1}[/tex] as propriedades da esquerda tornam-se propriedades da direita e vice-versa).

Isso significa que [tex]f^{-1}[/tex] é total à direita, exclusivo à esquerda, total à esquerda e exclusivo à direita, ou seja, [tex]f^{-1}[/tex] é bijetivo.

Saiba mais sobre Função Bijetora: https://brainly.com.br/tarefa/54739242

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