Foi possível demonstrar que os números racionais são enumeráveis.
Enumerabilidade dos Racionais
Vamos definir um mapeamento ϕ:Q→Z×N do seguinte modo:
ϕ(p/q)=(p, q)
onde p é um número inteiro, q é um número natural positivo e p e q são coprimos. Claramente, ϕ é uma injeção em um conjunto infinito contável*, portanto Q é contável. Como não é finito, deve ser infinito contável.
*Vamos provar que o produto cartesiano de conjuntos contáveis é contável. Seja A e B dois conjuntos contáveis. Por definição, existem injeções de A a IN, e de B a IN. Portanto, existe uma injeção f de A×B para IN².
Então, tudo o que precisamos provar é que IN² é infinitamente contável. Defina uma função g:IN²→IN do seguinte modo:
[tex]g(n,m)=2^n.3^m[/tex]
Supondo que ∃m,n,r,s∈N tal que g(n,m)=g(r,s). Então:
[tex]2^n.3^m=2^r.3^s= > n=r[/tex]∧[tex]m=s[/tex]
Assim, g é uma injeção e IN² é infinitamente contável.
Saiba mais sobre Enumerabilidade dos Racionais: https://brainly.com.br/tarefa/24776612
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Foi possível demonstrar que os números racionais são enumeráveis.
Enumerabilidade dos Racionais
Vamos definir um mapeamento ϕ:Q→Z×N do seguinte modo:
onde p é um número inteiro, q é um número natural positivo e p e q são coprimos. Claramente, ϕ é uma injeção em um conjunto infinito contável*, portanto Q é contável. Como não é finito, deve ser infinito contável.
*Vamos provar que o produto cartesiano de conjuntos contáveis é contável. Seja A e B dois conjuntos contáveis. Por definição, existem injeções de A a IN, e de B a IN. Portanto, existe uma injeção f de A×B para IN².
Então, tudo o que precisamos provar é que IN² é infinitamente contável. Defina uma função g:IN²→IN do seguinte modo:
[tex]g(n,m)=2^n.3^m[/tex]
Supondo que ∃m,n,r,s∈N tal que g(n,m)=g(r,s). Então:
Assim, g é uma injeção e IN² é infinitamente contável.
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