[tex] {8}^{n} + 47[/tex]

Vamos dizer que é uma função igualando a y ou seja 0

[tex]y = {8}^{n} + 47 \\ 0 = {8}^{n} + 47 \\ { - 8}^{n} = 47 \\ {8}^{n} = - 47[/tex]

Pecebe-se que a igualdade é fora do intervalo dos Reais

Se parar-mos e vemos que temos a interceção

[tex]y = {8}^{n} + 47 \\ y = {8}^{0} + 47 \\ y = 1 + 47 \\ y = 48[/tex]

O valor de n está no conjunto Real, mas é tanto quanto variado o valor

[tex]y = {8}^{n} + 47 \\ y - {8}^{n} = 47 \\ {8}^{n} = - 47 + y \\ log_{ \cancel8}( { \cancel8}^{n} ) = log_{8}( - 47 + y) \\ n = log_{ {2}^{3} }( - 47 + y) \\ \boxed{n = \frac{1}{3} \times log_{2}( - 47 + y) }[/tex]

Ficando: [tex] {8}^{ \frac{1}{3} \times log_{2}( - 47 + y) } + 47 [/tex]

Substitua y por 48

[tex] {8}^{ \frac{1}{3} \times log_{2}( - 47 + 48) } + 47 \\ {8}^{ \frac{1}{3} \times log_{2}(1) } + 47 \\ {8}^{ \frac{1}{3} \times 0 } + 47 \\ {8}^{0} + 47 \\ 1 + 47 \\ 48[/tex]

Onde chegamos que a conclusão de n pertence aos Reais.

[tex]n \in \mathbb{R} \\y \in \mathbb{R} \\ Resultado \: Final \\ RF \in \mathbb{R}[/tex]

[tex]{\huge\boxed { {\bf{E}}}\boxed { \red {\bf{a}}} \boxed { \blue {\bf{s}}} \boxed { \gray{\bf{y}}} \boxed { \red {\bf{}}} \boxed { \orange {\bf{M}}} \boxed {\bf{a}}}{\huge\boxed { {\bf{t}}}\boxed { \red {\bf{h}}}} \\ \boxed{ \displaystyle\int_ \empty ^ \mathbb{C}     \frac{ - b \: ± \:  \sqrt{ {b}^{2} - 4 \times a \times c } }{2 \times a} d{ t } \boxed{ \boxed{ \mathbb{\displaystyle\Re}\sf{ \gamma  \alpha }\tt{ \pi}\bf{ \nabla}}}} \\ {\boxed{ \color{blue} \boxed{ 23 |11|22 }}}{\boxed{ \color{blue} \boxed{Espero \: ter \: ajudado \: ☆}}}[/tex]

Verified answer

Testemos alguns valores de [tex]n[/tex] e fatoremos o resultado em primos.

[tex]8^1 + 47 = 5 \cdot 11\\8^2 + 47 = 3 \cdot 37\\8^3 + 47 = 13 \cdot 43\\8^4 + 47 = 3 \cdot 1381\\8^5 + 47 = 5 \cdot 6563\\8^6 + 47 = 3 \cdot 17 \cdot 53 \cdot 97\\8^7 + 47 = 13 \cdot 161323\\8^8 + 47 = 3 \cdot 439 \cdot 12739[/tex]

É de se suspeitar que para valores pares de [tex]n[/tex] o número é divisível por 3 e que para valores ímpares de [tex]n[/tex] a divisibilidade do número alterna entre 5 e 13. Pois bem, tentemos demonstrar isso.

Para [tex]n[/tex] par:
[tex]n = 2k,\:k \in \mathbb{N}[/tex]

[tex]8^n + 47\\\equiv 8^{2k} + 47\\\equiv (8^2)^k + 47\\\equiv 64^k + 47 \pmod 3\\[/tex]

Para simplificar [tex]64^k[/tex], temos que:

[tex]1 \equiv 1 \pmod 3\\1 + 63 \equiv 1 \pmod 3\\64 \equiv 1 \pmod 3\\64 ^k \equiv 1^k \pmod 3\\64^k \equiv 1 \pmod 3[/tex]

Continuando:

[tex]64^k + 47\\\equiv 1 + 45 + 2\\\equiv 1 + 2\\\equiv 3\\\equiv 0 \pmod 3[/tex]

Comprovado.

Para [tex]n[/tex] ímpar: como o número está alternando entre 2 divisores, não basta tentar demonstrar algo para [tex]n[/tex] ímpar no geral, mas sim para 2 ímpares consecutivos. Ou seja, temos que demonstrar as proposições para ímpares dos formatos [tex]4k + 1[/tex] e [tex]4k + 3[/tex], [tex]k \in \mathbb{N}[/tex].

Suspeitamos anteriormente que para [tex]n = 5[/tex] o número é divisível por 5, ou seja, se suspeita que [tex]5 \mid 4k + 1[/tex] e [tex]13 \mid 4k + 3[/tex]. Segue demonstração:

[tex]8^{4k + 1} + 47\\\equiv 3^{4k + 1} + 47\\\equiv 3^{4k} \cdot 3 + 47\\\equiv (3^4)^k \cdot 3 + 47\\\equiv 81^k \cdot 3 + 47 \pmod 5[/tex]

Simplificação de [tex]81^k[/tex]:
[tex]1 \equiv 1 \pmod 5\\1 + 80 \equiv 1 \pmod 5\\81 \equiv 1 \pmod 5\\81^k \equiv 1^k \pmod 5\\81^k \equiv 1 \pmod 5[/tex]

Continuando:
[tex]81^k \cdot 3 + 47\\\equiv 1 \cdot 3 + 45 + 2\\\equiv 3 + 2\\\equiv 5\\\equiv 0 \pmod 5[/tex]

Comprovado.

Demonstração que [tex]13 \mid 4k + 3[/tex]:

[tex]8^{4k + 3} + 47\\\equiv (-5)^{4k + 3} + 39 + 8\\\equiv (-5)^{4k} \cdot (-5)^3 + 8\\\equiv ((-5)^4)^k \cdot 25 \cdot (-5) + 8\\\equiv (25 \cdot 25)^k \cdot 25 \cdot (-5) + 8\\\equiv ((-1) \cdot (-1))^k \cdot (-1) \cdot (-5) + 8\\\equiv 1^k \cdot 5 + 8\\\equiv 1 \cdot 5 + 8\\\equiv 5 + 8\\\equiv 13\\\equiv 0 \pmod {13}[/tex]

Comprovado.

Como demonstramos a divisibilidade de [tex]8^n + 47[/tex] para os únicos 3 casos existentes de [tex]n[/tex] ([tex]n[/tex] par e os únicos 2 tipos de ímpares), logo, [tex]8^n + 47[/tex] é sempre um número composto, [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex].