(Aritmética: Teoria dos Números – Números Naturais – Princípio da Indução Finita – Desigualdades)
Sejam [tex]a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_n[/tex] números reais positivos. Utilizando o Princípio da Indução Finita, mostre que
[tex]\displaystyle\left(\sum_{k=1}^n a_k \right)\cdot \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} \right)\ge n^2[/tex]
qualquer que seja [tex]n[/tex] inteiro positivo.
Sejam [tex]a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_n[/tex] números reais positivos. Utilizando o Princípio da Indução Finita, mostre que
[tex]\displaystyle\left(\sum_{k=1}^n a_k \right)\cdot \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} \right)\ge n^2[/tex]
qualquer que seja [tex]n[/tex] inteiro positivo.
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Testemos primeiro a proposição com o elemento mínimo dos naturais, [tex]n = 1[/tex] :
[tex]\left( \sum\limits^{1}_{k=1} a_k\right) \cdot \left( \sum\limits^{1}_{k=1} \cfrac{1}{a_k} \right)\\\\= 1 \cdot \cfrac{1}{1} \\\\= 1[/tex]
Que é maior ou igual a [tex]1^2[/tex], portanto [tex]p(1)[/tex] é válida.
Hipótese de indução: supor que dado um [tex]n[/tex] qualquer, a proposição [tex]p(n)[/tex] é válida:
[tex]\left( \sum\limits^{n}_{k=1} a_k\right) \cdot \left( \sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{1}{a_k} \right) \geq n^2[/tex]
Passo indutivo: demonstrar que [tex]p(n) \Longrightarrow p(n+1)[/tex] :
[tex]\left( \sum\limits^{n + 1}_{k=1} a_k\right) \cdot \left( \sum\limits^{n+1}_{k=1} \cfrac{1}{a_k} \right)[/tex]
[tex]= \left(\left( \sum\limits^{n}_{k=1} a_k\right) + a_{n+1}\right) \cdot \left(\left( \sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{1}{a_k} \right) + \cfrac{1}{a_{n+1}} \right)[/tex]
[tex]=\sum\limits^{n}_{k=1} a_k \cdot \sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{1}{a_k} + \cfrac{\sum\limits^{n}_{k=1} a_k}{a_{n+1}} + a_{n+1} \cdot \sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{1}{a_k} + \cfrac{a_{n+1}}{a_{n+1}}[/tex]
[tex]=\sum\limits^{n}_{k=1} a_k \cdot \sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{1}{a_k} + \sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{a_k}{a_{n+1} } + \sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{a_{n+1}}{a_k} + 1[/tex]
[tex]=\sum\limits^{n}_{k=1} a_k \cdot \sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{1}{a_k} + \left(\sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{a_k}{a_{n+1}} + \cfrac{a_{n+1}}{a_k}\right) + 1[/tex]
Substituindo o produto dos dois primeiros somatórios conforme a hipótese de indução nos resta:
[tex]\geq n^2+ \left(\sum\limits^{n}_{k=1} \cfrac{a_k}{a_{n+1}} + \cfrac{a_{n+1}}{a_k}\right) + 1\:\:\:(i)[/tex]
Temos também que o somatório restante é maior ou igual a [tex]2n[/tex]. Segue demonstração:
[tex](a_k - a_{n+1})^2 \geq 0\\{a_k}^2 - 2a_k \cdot a_{n+1} + {a_{n+1}}^2 \geq 0\\{a_k}^2 + {a_{n+1}}^2 \geq 2a_k \cdot a_{n+1}[/tex]
Como [tex]a_k \cdot a_{n+1} \neq 0[/tex], podemos dividir ambos os lados da igualdade por [tex]a_k \cdot a_{n+1}[/tex] :
[tex]\cfrac{{a_k}^2 + {a_{n+1}}^2}{a_k \cdot a_{n+1}} \geq \cfrac{2a_k \cdot a_{n+1}}{a_k \cdot a_{n+1}} \\\\\\\cfrac{a_k}{a_{n+1}} + \cfrac{a_{n+1}}{a_k} \geq 2[/tex]
Retornando em [tex](i)[/tex]:
[tex]\geq n^2+ \left( \sum\limits^{n}_{k=1} 2 \right) + 1\\\geq n^2 + 2n + 1\\\geq (n+1)^2[/tex]
Como [tex]p(1)[/tex] é válido (elemento mínimo dos naturais) e como [tex]p(n) \Longrightarrow p(n+1)[/tex], podemos afirmar que a proposição é válida [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex]