Verified answer

Resposta:

Explicação passo a passo:

Por definição: i² = -1

Primeiro, vamos resolver por partes:

(1 + 2i)²

• produtos notáveis: (a + b)² = a² + 2 . a . b + b²

        (1 + 2i)² = 1² + 2.1.2i + 4i² = 1 + 4i + 4(-1) = -3 + 4i

------------------------------------------------------------------------------

conjugado (1 + i)³

conjugado (1 + i)³ = (1 - i)³

• produtos notáveis: (a - b)³ = a³ - 3 . a² . b + 3 . a . b² - b³

        (1 - i)³ = 1³ - 3.1².i + 3.1.i² - i³ = 1 - 3i + 3.(-1) - i.i² = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

------------------------------------------------------------------------------

(rodutos notáveis: (a + b)³ = a³ + 3 . a² . b + 3 . a . b² + b³

        (3 + 2i)³ = 3³ + 3.3².2i + 3.3.(2i)² + (2i)³ = 27 + 54i + 9.2².i² + 2³.i³ = 27                 + 54i + 36.(-1) + 8.(i².i) = 27 + 54i - 36 + 8.(-1)(i) = -9 + 54i - 8i = -9 + 46i

------------------------------------------------------------------------------

(2 - i)²

• produtos notáveis: (a - b)² = a² - 2 . a . b + b²

        (2 - i)² = 2² - 2.2.i + i² = 4 - 4i + (-1) = 3 - 4i

------------------------------------------------------------------------------

Segundo, substituindo os valores na equação:

[tex]\displaystyle \dfrac{(1+2i)^2-(\overline{1+i})^3}{(3+2i)^3-(2-i)^2}=\frac{-3+4i - (-2 - 2i)}{-9 + 46i - (3 - 4i)} = \frac{-3+4i + 2 + 2i}{-9 + 46i -3 + 4i} = \frac{-1+6i}{-12+50i} =\\\\\frac{(-1+6i).(-12-50i)}{(-12+50i).(-12-50i)}=\frac{-1(-12-50i)+6i(-12-50i)}{(-12)^2-(50i)^2} =\\\\\\\frac{12+50i-72i-300i^2}{144-2500(i^2)} =\frac{12-22i-300(-1)}{144-2500(-1)} =\frac{12-22i+300}{144+2500} =\frac{312-22i}{2644} =\\\\\frac{312\div2-22i\div2}{2644\div2}=\frac{156-11i}{1322}[/tex]