Resposta:

Para mostrar que a função f(x) = {z^-2/z, se z ≠ 0; 0, se z = 0} não é diferenciável em z = 0, vamos usar o critério de Cauchy-Riemann.

O critério de Cauchy-Riemann afirma que uma função complexa f(z) = u(x, y) + iv(x, y) é diferenciável em um ponto z = x + iy se e somente se as seguintes condições são atendidas:

∂u/∂x = ∂v/∂y

∂u/∂y = -∂v/∂x

Em nosso caso, f(z) = z^-2/z = x^-2 - y^2 + ix^-2y + i^2y^-2x = u(x, y) + iv(x, y)

Então, temos:

∂u/∂x = -2x^-3

∂u/∂y = -2y

∂v/∂x = -2xy^-3

∂v/∂y = -2x^-3

Ao calcularmos esses valores, vemos que eles não atendem ao critério de Cauchy-Riemann.

∂u/∂x ≠ ∂v/∂y

∂u/∂y ≠ -∂v/∂x

Isso mostra que a função não é diferenciável em z = 0, e portanto não é uma função complexa analítica.