Resposta:

A função f(z) = z^2 * ln(z) é indeterminada no ponto z = 0

Explicação passo a passo:

A função f(z) = z^2 * ln(z) é indeterminada no ponto z = 0, o que significa que a derivada não existe nesse ponto. Isso ocorre porque o logaritmo de zero é negativo infinito, e o limite da função quando z se aproxima de zero é zero, o que gera uma indeterminação do tipo 0 * infinito.

No entanto, é possível calcular a derivada da função usando a regra da cadeia, que é dada por:

f'(z) = (z^2)' * ln(z) + z^2 * (ln(z))'

= 2z * ln(z) + z^2 / z

= 2z * ln(z) + z

Essa é a expressão da derivada da função f(z) em todos os pontos, exceto em z = 0, onde ela é indeterminada.

Utilizando as equações de Cauchy-Riemann, concluímos que a derivada só existe no ponto z = 0 e é igual a 2x.

Equações de Cauchy-Riemann

Dada uma função complexa f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y), para que a f seja diferenciavel é necessário que as equações de Cauchy-Riemann sejam válidas e que as funções reais u e v seja contínuas e com derivadas contínuas.

Para a função dada na questão, temos que:

f(z) = |z|² = x² + y²

Logo:

u(x, y) = x² + y²

v(x, y) = 0

Calculando as derivadas parciais:

[tex]\partial u / \partial x = 2x[/tex]

[tex]\partial u / \partial y = 2y[/tex]

[tex]\partial v / \partial x = 0[/tex]

[tex]\partial v / \partial y = 0[/tex]

Substituindo nas equações de Cauchy-Riemann, temos que:

2x = 0

2y = 0

x = 0

y = 0

Logo, z = x + iy = 0 é o único ponto onde a derivada existe.

Nesse caso, a derivada é dada por:

[tex]f'(z) = \partial u / \partial x - i \cdot \partial v / \partial x = 2x[/tex]

Ou equivalentemente:

[tex]f'(z) = \partial u / \partial y + i \cdot \partial y / \partial x = 2y[/tex]

Observe que como a derivada só existe no ponto 0, as expressões acima coincidem (a derivada de uma função é única).