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Com as propriedades do modulo foi possível demonstrar a desigualdade

Números Complexos

Podemos começar utilizando as propriedades dos módulos de números complexos:

[tex]$$\left|\dfrac{z_1}{z_2+z_3}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2+z_3|}$$[/tex]

A partir daí, podemos multiplicar e dividir a expressão por [tex]$|z_2|-|z_3|$[/tex] , para obter:

[tex]\displaystyle\frac{|z_1|}{|z_2+z_3|} &= \frac{|z_1|}{|z_2|-|z_3|+|z_3|+|z_2|} \ &= \frac{|z_1|}{|z_2|-|z_3|} \cdot \frac{1}{1+\displaystyle\frac{|z_3|}{|z_2|-|z_3|}\cdot\frac{|z_2|}{|z_1|}}[/tex]

Como [tex]$z_2 \neq z_3$[/tex], temos [tex]$|z_2| \neq |z_3|$[/tex] , e portanto:

[tex]$\frac{|z_3|}{|z_2|-|z_3|} < 1$[/tex]

Além disso,

[tex]|z_1|, |z_2|[/tex] e [tex]$|z_3|$[/tex]

são todos não negativos, o que significa que:

[tex]$\frac{|z_3|}{|z_2|-|z_3|}\cdot\frac{|z_2|}{|z_1|} \leq \frac{|z_3|}{|z_2|-|z_3|}$[/tex]

Substituindo na expressão acima, obtemos:

[tex]\displaystyle\frac{|z_1|}{|z_2+z_3|} &\leq \frac{|z_1|}{|z_2|-|z_3|} \cdot \frac{1}{1+\frac{|z_3|}{|z_2|-|z_3|}} \ &= \frac{|z_1|}{|z_2|-|z_3|} \cdot\\\\\\ \cdot\frac{|z_2|-|z_3|}{|z_2|-|z_3|+|z_3|} \ &= \frac{|z_1|}{|z_2|-|z_3|} \cdot \frac{|z_2|-|z_3|}{|z_2|} \ &= \frac{|z_1|}{||z_2|-|z_3||}[/tex]

Portanto, concluímos que:

[tex]$$\left|\displaystyle\frac{z_1}{z_2+z_3}\right| \leq \displaystyle\frac{|z_1|}{||z_2|-|z_3||}$$[/tex]

que era o que queríamos demonstrar.

Saiba mais sobre Numeros Complexos: https://brainly.com.br/tarefa/6371922

#SPJ13