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Com as propriedades do modulo e números complexos foi possível demonstrar a desigualdade [tex]$\left|z_1 + z_2\right| < \left|1 + \overline{z_1}z_2\right|$[/tex]

Números Complexos

Podemos começar observando que a desigualdade triangular diz que, para quaisquer dois números complexos [tex]z_1$ e $z_2$[/tex] temos:

[tex]$$\left|z_1 + z_2\right| \leq \left|z_1\right| + \left|z_2\right|$$[/tex]

Neste caso, como [tex]\left|z_1\right| < 1$ e $\left|z_2\right| < 1$[/tex] , então temos:

[tex]$$\left|z_1\right| + \left|z_2\right| < 1 + 1 = 2$$[/tex]

Ou seja,

[tex]$$\left|z_1 + z_2\right| < 2$$[/tex]

Por outro lado, podemos usar as propriedades do módulo para reescrever [tex]$1 + \overline{z_1}z_2$[/tex] da seguinte forma:

[tex]\left|1 + \overline{z_1}z_2\right| &= \left|\overline{\overline{1 + \overline{z_1}z_2}}\right| \\\\\\= \left|\overline{1 + \overline{z_1}z_2}\right| \\\\\\= \left|1 + \overline{\overline{z_1}}\cdot\overline{z_2}\right| \\\\\\= \left|1 + z_1\overline{z_2}\right|[/tex]

Observe que [tex]$z_1\overline{z_2}$[/tex] é um número complexo cujo módulo é menor ou igual a 1, pois:

[tex]$$\left|z_1\overline{z_2}\right| = \left|z_1\right|\cdot\left|\overline{z_2}\right| = \left|z_1\right|\cdot\left|z_2\right| < 1\cdot 1 = 1$$[/tex]

Portanto, podemos usar a desigualdade triangular novamente para obter:

[tex]$$\left|1 + z_1\overline{z_2}\right| \geq \left|1\right| - \left|z_1\overline{z_2}\right| = 1 - \left|z_1\right|\cdot\left|z_2\right| > 0$$[/tex]

Combinando as desigualdades acima, concluímos que:

[tex]$$\left|z_1 + z_2\right| < 2 < \left|1 + z_1\overline{z_2}\right|$$[/tex]

Portanto, [tex]$\left|z_1 + z_2\right| < \left|1 + \overline{z_1}z_2\right|$[/tex] quando [tex]$\left|z_1\right| < 1$[/tex] e[tex]$\left|z_2\right| < 1$[/tex].

Saiba mais sobre Numeros Complexos: brainly.com.br/tarefa/6371922

#SPJ13