Verified answer

A equação exponencial apresentada possui como única solução S = {2}.

Equação exponencial

As equações exponenciais são equações matemáticas que há uma variável que se encontra no expoente, sendo que para encontrarmos a solução é necessário fazer com que todos os termos sejam expressos de modo que sejam a mesma base.

Temos a função a seguir:

f(x) = 6ˣ - 2ˣ

Estamos interessados em valores positivos para x, pois caso contrário, o valor da função seria menor ou igual que zero. Temos:

x≤ 0 e 6/2 > 1

(6/2)ˣ ≤ 1

6ˣ/2ˣ ≤ 1

6ˣ/2ˣ - 1 ≤ 0

(6ˣ - 2ˣ)/2ˣ ≤ 0

Como o denominador 2ˣ é > 0, temos:

6ˣ - 2ˣ ≤ 0

f(x) ≤ 0

Demonstrando que a função é injetora para todo x > 0.

f(x) = 6ˣ - 2ˣ é injetora para todo x > 0.

Sejam, a, b ∈ R, tais que f(a) = f(b)

Vamos supor que a ≠ b, sem que perca generalidade. Supondo que a < b.

Por definição da relação <, existe um h > 0, tal que,

a + h = b

Porém, temos que lembrar que h > 0, portanto:

[tex]6^h < 2^h[/tex]

Multiplicando os lados da expressão por 2ᵃ > 0, temos:

[tex]2^a*2^h-2^a < 2^a*6^h-2^a\\2^a(2^h-1) < 2^a(6^h-1)[/tex]

Por outro lado, como h > 0, temos também:

[tex]6^h > 1\\6^h-1 > 0[/tex]

Também:

[tex]2^a < 6^a[/tex]

Para a > 0

Multiplicando os dois lados da expressão por [tex]6^h-1 > 0[/tex], temos:

[tex]2^a(6^h-1) < 6^a(6^h-1)[/tex]

Concluindo:

[tex]\Longrightarrow\quad 2^a(2^h- 1)<2^a(6^h-1)<6^a(6^h-1)\\\\ \Longrightarrow\quad 2^a(2^h- 1)<6^a(6^h-1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2^a\cdot 2^h-2^a<6^a\cdot 6^h-6^a\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2^{a+h}-2^a<2^{a+h}-6^a\\\\ \Longleftrightarrow\quad 6^a-2^a<6^{a+h}-2^{a+h}\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(a)<f(a+h)\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(a)<f(b)[/tex]

Isso contradiz a hipótese que f(a) = f(b). Portanto, não podemos ter a < b. Também, é possível mostrar que não podemos ter a > b. Logo, pela tricotomia, devemos ter a = b. Portanto, f é injetora, para todo x > 0.

Observamos que x = 2 é uma solução para a equação f(x) = 32 pois,

f(2) = 6² - 2²

f(2) = 36 - 4

f(2) = 32

E pela proposição 1, garantimos que esta é a única solução, pois f(x) = 6ˣ - 2ˣ, é injetora para todo x > 0. Portanto, o conjunto solução é:

S = {2}

Aprenda mais sobre equação exponencial aqui:

https://brainly.com.br/tarefa/47762801

#SPJ1