Um triângulo equilátero de lado medindo 6 cm e um retângulo de mesma altura e base com medida 2 cm estão posicionados como mostra a figura 1. A seguir o retângulo começa a se deslocar para a direita, como na figura 2. Seja x a medida representada na figura 3.
a) Qual é a área da região comum aos dois polígonos quando x = 1?
b) Qual é a área da região comum aos dois polígonos quando x = 3?
c) Qual é a área da região comum aos dois polígonos quando x = 4?
a) Qual é a área da região comum aos dois polígonos quando x = 1?
b) Qual é a área da região comum aos dois polígonos quando x = 3?
c) Qual é a área da região comum aos dois polígonos quando x = 4?
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Resposta:
a) A = [tex]\sqrt{3}[/tex] u.a.
b) A = 6 x [tex]\sqrt{3}[/tex] u.a.
Explicação passo a passo:
Este problema pode ser resolvido usado conhecimentos de trigonometria.
a) Se x = 1, a região comum aos dois polígonos é um triângulo (retângulo).
Já sabemos que a base do triângulo é 1 (x=1). Vamos determinar a altura usando trigonometria.
Como o triângulo é equilátero, todos os ângulos são iguais e medem 60 graus.
[tex]tan60 = \frac{a}{1}[/tex] <=> a =[tex]\sqrt{3}[/tex]
área = [tex]\frac{1 .\sqrt{3} }{2} = \frac{\sqrt{3} }{2}[/tex] unidades de área
b) Se x = 3, a região comum aos dois polígonos é um trapézio retângulo.
Base maior coincide com a altura do triângulo. A altura do triângulo pode ser novamente obtida usando trignometria.
[tex]tan60 = \frac{a}{3}[/tex] <=> a = 3[tex]\sqrt{3}[/tex]
área = 3x (3 [tex]\sqrt{3}[/tex] + [tex]\sqrt{3}[/tex] ) /2 =6[tex]\sqrt{3}[/tex] unidades de área
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VEJA IMAGENS EM ANEXO
a) x = 1
A área em comum é um triângulo retângulo, com as peculiaridades da imagem. Como queremos saber o comprimento do cateto oposto (CO) ao ângulo de [tex]60\textdegree[/tex], e temos o cateto adjacente (CA), usaremos a tangente, já que esta relação utiliza justamente estes dois valores.
[tex]\tan 60 = \cfrac{CO}{CA} \\\\\sqrt{3} = \cfrac{CO}{1} \\\\CO = \sqrt{3}[/tex]
Área do triângulo:
[tex]A = \cfrac{bh}{2} \\\\A = \cfrac{1 \cdot \sqrt{3} }{2}\\\\A = \cfrac{\sqrt{3} }{2}[/tex]
b) x = 3
A área em comum corresponde a um trapézio retângulo, cujas bases correspondem ao que, no item anterior, era o cateto oposto, e à altura do triângulo (h). Similarmente ao item a, podemos calcular a altura do triângulo com a tangente de [tex]60\textdegree[/tex].
[tex]\tan 60 = \cfrac{h}{CA} \\\\\sqrt{3} = \cfrac{h}{3} \\\\h = 3\sqrt{3}[/tex]
Área do trapézio:
[tex]A = \cfrac{h(B+b)}{2} \\\\A = \cfrac{2(3\sqrt{3} +\sqrt{3} )}{2}\\\\A = 4\sqrt{3}[/tex]
c) x = 4
A área pode ser vista como um retângulo de lados 2 e altura do triângulo (anteriormente h, [tex]3\sqrt{3}[/tex]), subtraído de 2 triângulos iguais de lado 1 e altura que chamarei de x. Esta altura também pode ser obtida com a tangente de [tex]60\textdegree[/tex].
[tex]\tan 60 = \cfrac{x}{CA} \\\\\sqrt{3} = \cfrac{x}{1} \\\\x= \sqrt{3}[/tex]
Estes dois triângulos iguais podem ser vistos como um retângulo de mesmas dimesões. Área total:
[tex]2 \cdot 3\sqrt{3} - 1 \cdot \sqrt{3} \\= 5\sqrt{3}[/tex]