Como a ultima equação é igual a 0, temos certeza de que pelo menos uma das raízes será igual a 0, pois 0 vezes qualquer número é 0. A questão diz que uma das raízes é igual a 1. Então, dadas essas informações, vamos imaginar que e . Então, teríamos o seguinte:
Veja, Dani, que a resolução é simples. São pedidas as outras três raízes reais da equação abaixo, sabendo-se que uma das quatro raízes dessa equação é igual a "1":
x⁴ - x³ - 3x² + 3x = 0
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Vamos primeiro colocar "x" em evidência na equação acima. Com isso, ficaremos assim:
x*(x³ - x² - 3x + 3) = 0 --- note: temos aqui um produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:
ou x = 0 ---> x' = 0
ou x³ - x² - 3x + 3 = 0
ii) Agora note mais isto: já temos que uma raiz é "1", pois foi dado no enunciado da questão. E agora, acabamos de encontrar uma outra, que é x' = 0. Assim, já temos duas raízes, que são: x' = 0; e x'' = 1 (esta é a que foi dada no enunciado da questão).
iii) Nesse caso, a expressão original [x⁴-x³-3x²+3x = 0] será divisível (ou seja deixa resto zero) pelo produto (x-1)*(x-0) = x²-x. Assim, vamos efetuar a divisão, pelo sistema direto, da equação original por "x²-x". Fazendo isso, teremos;
x⁴-x³-3x²+3x |_x²-x_ <--- divisor . . . . . . . . . . .x² - 3 <--- quociente -x⁴+x³ ----------------- 0...0 - 3x²+3x ........+3x²-3x --------------------- ..........0.....0 <--- Resto. Veja que tinha que ser zero mesmo, pois a equação original é divisível pelo divisor e, assim, deixará resto zero.
iv) Agora vamos encontrar as outras duas raízes com a utilização do quociente a que chegamos, que foi este:
x² - 3 ---- para encontrar as demais raízes, vamos igualar este quociente a zero, ficando:
x² - 3 = 0 x² = 3 x = ± √(3) ---- daqui você já conclui que:
x''' = - √(3) x'''' = √(3)
v) Assim, as outras 3 outras raízes serão estas (colocando-as em ordem crescente):
x' = -√(3); x'' = 0; x''' = √(3). <--- Esta é a resposta. Ou seja, estas são as três outras raízes procuradas.
Dessa forma, todas as quatro raízes serão estas (colocando as raízes em ordem crescente):
x' = - √(3); x'' = 0; x''' = 1; e x'''' = √(3) <--- Esta são as 4 raízes da equação dada.
Assim, o conjunto-solução {x'; x''; x'''; x''''} poderá ser dado da seguinte forma, o que é a mesma coisa:
- x³ -3x² +3x = 0 é igual a 1. quais são as outras três raízes dessa equação
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Vamos lá:Fazendo a relação de Girard:
Como a ultima equação é igual a 0, temos certeza de que pelo menos uma das raízes será igual a 0, pois 0 vezes qualquer número é 0. A questão diz que uma das raízes é igual a 1. Então, dadas essas informações, vamos imaginar que
Utilizando a equação 1, temos:
Substituindo o valor obtido na equação 3, temos:
Ou seja, temos as seguintes raízes:
Espero ter ajudado.
Veja, Dani, que a resolução é simples.
São pedidas as outras três raízes reais da equação abaixo, sabendo-se que uma das quatro raízes dessa equação é igual a "1":
x⁴ - x³ - 3x² + 3x = 0
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Vamos primeiro colocar "x" em evidência na equação acima. Com isso, ficaremos assim:
x*(x³ - x² - 3x + 3) = 0 --- note: temos aqui um produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:
ou
x = 0 ---> x' = 0
ou
x³ - x² - 3x + 3 = 0
ii) Agora note mais isto: já temos que uma raiz é "1", pois foi dado no enunciado da questão. E agora, acabamos de encontrar uma outra, que é x' = 0.
Assim, já temos duas raízes, que são: x' = 0; e x'' = 1 (esta é a que foi dada no enunciado da questão).
iii) Nesse caso, a expressão original [x⁴-x³-3x²+3x = 0] será divisível (ou seja deixa resto zero) pelo produto (x-1)*(x-0) = x²-x.
Assim, vamos efetuar a divisão, pelo sistema direto, da equação original por "x²-x". Fazendo isso, teremos;
x⁴-x³-3x²+3x |_x²-x_ <--- divisor
. . . . . . . . . . .x² - 3 <--- quociente
-x⁴+x³
-----------------
0...0 - 3x²+3x
........+3x²-3x
---------------------
..........0.....0 <--- Resto. Veja que tinha que ser zero mesmo, pois a equação
original é divisível pelo divisor e, assim, deixará resto zero.
iv) Agora vamos encontrar as outras duas raízes com a utilização do quociente a que chegamos, que foi este:
x² - 3 ---- para encontrar as demais raízes, vamos igualar este quociente a zero, ficando:
x² - 3 = 0
x² = 3
x = ± √(3) ---- daqui você já conclui que:
x''' = - √(3)
x'''' = √(3)
v) Assim, as outras 3 outras raízes serão estas (colocando-as em ordem crescente):
x' = -√(3); x'' = 0; x''' = √(3). <--- Esta é a resposta. Ou seja, estas são as três outras raízes procuradas.
Dessa forma, todas as quatro raízes serão estas (colocando as raízes em ordem crescente):
x' = - √(3); x'' = 0; x''' = 1; e x'''' = √(3) <--- Esta são as 4 raízes da equação dada.
Assim, o conjunto-solução {x'; x''; x'''; x''''} poderá ser dado da seguinte forma, o que é a mesma coisa:
S = {-√3; 0; 1; √3}.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.