O valor da integral indefinida apresentada é:

Alternativa 4:  [tex]\frac{1}{2}*ln(x^2-4) + c[/tex]

Resolvendo a integral indefinida:

Para resolvermos esta integral indefinida, inicialmente faremos uso do método da substituição, onde faremos u = x²-4 e conseguentemente du = (x²-4)' = 2x dx, multiplicando também o numerador e o denominador da divisão por 2 para conseguirmos fazer vazer as igualdades anteriores. Assim teremos:

[tex]\int {\frac{x}{x^2-4} } \, dx = \int {\frac{2x}{2(x^2-4)} } \, dx[/tex]

Aplicando as igualdades u = x²-4 e du = 2x dx:

[tex]\int {\frac{2x}{2(x^2-4)} } \, dx = \int {\frac{1}{2(u)} } \, du[/tex]

Passando a constante 1/2 para fora da integral e resolvendo a integral, teremos:

[tex]\int {\frac{1}{2u} } \, du = \frac{1}{2} * \int {\frac{1}{u} } \, dx = \frac{1}{2} * ln(u) + c[/tex]

Voltando as variáveis de u para x com a igualdade u = x²-4, concluímos que:

[tex]\frac{1}{2} * ln(u) + c = \frac{1}{2} * ln(x^2-4) + c[/tex]

Portanto o valor da integral indefinida é a Alternativa 4: 1/2 * ln(x²-4) + c.

Entenda mais sobre integral indefinida aqui: https://brainly.com.br/tarefa/51159034

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