Calcule o limite:
[tex]\lim_{x \to +\infty} [x . (\sqrt{x^{2} }-x) ][/tex]
Olá pessoal do Cálculo. Preciso da ajudinha básica nessa. A resposta de meu livro diz ser - 1/2
[tex]\lim_{x \to +\infty} [x . (\sqrt{x^{2} }-x) ][/tex]
Olá pessoal do Cálculo. Preciso da ajudinha básica nessa. A resposta de meu livro diz ser - 1/2
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Resposta:
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Explicação passo a passo:
[tex]\sqrt{x^2}[/tex] é igual a [tex]|x|[/tex], porém, como sua análise é para +∞, podemos fazer que [tex]|x|[/tex] = x. Portanto:
[tex]\lim_{x \to +\infty} [x . (\sqrt{x^{2} }-x) ] = \lim_{x \to +\infty} [x . (x-x) ] =\lim_{x \to +\infty} [x . (0) ] =0[/tex]
A resposta do seu livro parece estar errada. Se você plotar o gráfico dessa função também verá que o limite no +∞ é 0.
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o resultado do limite da referida função é:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim\limits_{x \to \infty}\left[x\cdot(\sqrt{x^2} - x)\right] = 0\end{gathered}$}[/tex]
Seja o limite dado:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim\limits_{x \to \infty} \left[x\cdot(\sqrt{x^2} - x)\right]\end{gathered}$}[/tex]
Observe que a função que queremos encontrar o limite é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = x\cdot(\sqrt{x^2} - x)\end{gathered}$}[/tex]
Observe que esta função possui um radical de índice par. Neste caso, para que a lei de formação da referida função seja consistente no universo real é necessário que que o radicando seja maior ou igual a zero. Desta forma, podemos calcular o limite da seguinte forma:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to \infty} \left[x\cdot(\sqrt{x^2} - x)\right] & = \lim\limits_{x \to \infty}(x\cdot\sqrt{x^2}) + \lim\limits_{x \to \infty}(x\cdot(-x))\\& = \lim\limits_{x\to \infty}x\cdot x^{2\cdot\frac{1}{2}} - \lim\limits_{x\to \infty} x\cdot x\\& = \lim\limits_{x \to \infty}x^2 - \lim\limits_{x \to \infty}x^2\\ & = 0\end{aligned} $}[/tex]
Portanto, o resultado é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim\limits_{x \to \infty}\left[x\cdot(\sqrt{x^2} - x)\right] = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]