Qual o volume do sólido de revolução gerado ao rotacionar ao redor do eixo y, a região limitada entre as curvas x = y² e x = 2 - y² .
SÓ PRECISO QUE CONFIRME ISSO, não precisa fazer
A integral que devo montar é [tex]\int\limits^1_{-1} {[(2-y^2)^2 - (y^2)^2}] \, dy[/tex]
SÓ PRECISO QUE CONFIRME ISSO, não precisa fazer
A integral que devo montar é [tex]\int\limits^1_{-1} {[(2-y^2)^2 - (y^2)^2}] \, dy[/tex]
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Explicação passo-a-passo:
Claro, vou calcular a integral para você:
∫ de -1 a 1 [(2 - y²)² - (y²)²] dy
Primeiro, simplificando a expressão dentro da integral:
(2 - y²)² - (y²)² = (4 - 4y² + y⁴) - y⁴ = 4 - 4y²
Agora, a integral fica:
∫ de -1 a 1 (4 - 4y²) dy
Integrando termo a termo:
∫ de -1 a 1 4 dy - ∫ de -1 a 1 4y² dy
A integral de 4 é simplesmente 4y, e a integral de 4y² é (4/3)y³. Vamos calcular:
[4y] de -1 a 1 - [(4/3)y³] de -1 a 1
Substituindo os limites de integração:
(4 * 1 - 4 * (-1)) - [(4/3 * 1³) - (4/3 * (-1)³)]
(4 + 4) - [(4/3) - (-4/3)]
8 - (4/3 + 4/3)
8 - 8/3
O volume do sólido de revolução é igual a 24/3 - 8/3 = 16/3 unidades cúbicas.
Portanto, o volume do sólido de revolução gerado ao rotacionar a região limitada entre as curvas x = y² e x = 2 - y² ao redor do eixo y é igual a 16/3 unidades cúbicas.