Explicação passo-a-passo:

Para calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelas funções \(x = y^2\) e \(x = 2 - y^2\) em torno do eixo dos y, você pode usar o método das cascas cilíndricas. Aqui estão os passos:

1. Primeiro, encontre os pontos de interseção das curvas \(x = y^2\) e \(x = 2 - y^2\). Para isso, iguale as duas equações:

\(y^2 = 2 - y^2\)

Resolvendo para \(y\), temos:

\(2y^2 = 2\)

\(y^2 = 1\)

\(y = \pm 1\)

Portanto, os limites de integração em relação a \(y\) serão de -1 a 1.

2. Agora, escreva a equação da função que representa a altura das cascas cilíndricas. A altura é dada pela diferença entre as duas funções:

\(h(y) = (2 - y^2) - y^2\)

\(h(y) = 2 - 2y^2\)

3. A próxima etapa é escrever a fórmula do volume das cascas cilíndricas:

\(V = \int_{-1}^{1} 2\pi \cdot x \cdot h(y) \, dy\)

Substitua \(x\) por \(y^2\) e \(h(y)\) pela expressão que encontramos:

\(V = \int_{-1}^{1} 2\pi \cdot y^2 \cdot (2 - 2y^2) \, dy\)

4. Agora, calcule a integral definida:

\(V = 2\pi \int_{-1}^{1} (2y^2 - 2y^4) \, dy\)

\(V = 2\pi \left[ \frac{2}{3}y^3 - \frac{2}{5}y^5 \right]_{-1}^{1}\)

\(V = 2\pi \left( \left(\frac{2}{3} - \frac{2}{5}\right) - \left(-\frac{2}{3} + \frac{2}{5}\right) \right)\)

\(V = 2\pi \left( \frac{4}{15} + \frac{4}{15} \right)\)

\(V = \frac{16\pi}{15}\)

Portanto, o volume do sólido de revolução gerado é \(\frac{16\pi}{15}\) unidades cúbicas.