[tex]\boxed{T(d,k)=\dfrac{d-dx+2dx^2-7kx+3k-2kx^2}{4} }[/tex]

Explicação:

Escrevemos uma combinação linear para um vetor genérico (d,k) do espaço de saída (R2) com os vetores que deu (1,1) e (3,-1).

[tex]a\cdot (1,1) +b \cdot (3,-1) = (d,k)[/tex]

Desenvolva a multiplicação de escalar pelos vetores

[tex](a,a)+(3b,-b)=(d,k)[/tex]

Aplique a soma de vetores

[tex](a+3b, \:a-b)=(d,k)[/tex]

Aplique a igualdade de vetores

[tex]a+3b=d \:\:\:\:\: \:\:\:\:\: \:\:\:\: a-b=k\\\\ \:\:\:\:\: \:\:\:\:\:\Downarrow[/tex]

Podemos montar um sistema para descobrir este a , b

[tex]\begin{cases}a+3b=d\\ a -b=k \end{cases}[/tex]

[tex]\begin{cases}a+3b=d\\ a -b=k\:\:\: .(3) \end{cases}[/tex]

[tex]\underline{\begin{cases}a+3b=d\\ 3a -3b=3k \end{cases}}[/tex]

[tex]4a+0b = d+3k\\\\4a=d+3k\\\\a=\dfrac{d+3k}{4}[/tex]

Por substituição em uma das equações

[tex]a+3b =d[/tex]

[tex]\dfrac{d+3k}{4}+3b = d[/tex]

[tex]\dfrac{d+3k +12b}{4}=d[/tex]

[tex]d+3k+12b=4d[/tex]

[tex]12b = 4d-d-3k\\[/tex]

[tex]12b=3d-3k[/tex]

[tex]b= \dfrac{3d-3k}{12}[/tex]

[tex]b=\dfrac{3d}{12}-\dfrac{3k}{12}[/tex]

[tex]b=\dfrac{1d}{4} -\dfrac{1k}{4}[/tex]

[tex]b=\dfrac{d-k}{4}[/tex]

Achamos as constantes da combinação linear a e b. Portanto substituimos:

[tex]a\cdot (1,1) +b \cdot (3,-1) = (d,k)[/tex]

[tex]\left(\begin{array}{ccc}\dfrac{d+3k}{4}\end{array}\right)\cdot (1,1) + \left(\begin{array}{ccc}\dfrac{d-k}{4}\end{array}\right)\cdot (3,-1) = (d,k)[/tex]

APLICA-SE A TRANSFORMAÇÃO LINEAR T EM AMBOS OS LADOS DA EQUAÇÃO:

[tex]T\left(\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{ccc}\dfrac{d+3k}{4}\end{array}\right)\cdot (1,1) + \left(\begin{array}{ccc}\dfrac{d-k}{4}\end{array}\right)\cdot (3,-1)\end{array}\right)=T(d,k)[/tex]

A transformação da soma é a soma das trasformações:

[tex]T\left(\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{ccc}\dfrac{d+3k}{4} \end{array}\right) \cdot(1,1)\end{array}\right)+T\left(\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{ccc}\dfrac{d-k}{4} \end{array}\right) \cdot(3,-1)\end{array}\right)=T(d,k)[/tex]

O escalar pode assar para fora do vetor:

[tex]\left(\begin{array}{ccc}\dfrac{d+3k}{4} \end{array}\right) \cdot T\left(\begin{array}{ccc}(1,1)\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}\dfrac{d-k}{4} \end{array}\right) \cdot T\left(\begin{array}{ccc}(3,-1)\end{array}\right)=T(d,k)[/tex]

A transformação T(1,1) é 1-2x e T(3,-1) é x+2x² entao substituindo:

[tex]\left(\begin{array}{ccc}\dfrac{d+3k}{4} \end{array}\right) \cdot (1-2x)+ \left(\begin{array}{ccc}\dfrac{d-k}{4} \end{array}\right) \cdot (x+2x^2)=T(d,k)[/tex]

Faça as multiplicações:

[tex]\left(\begin{array}{ccc}\dfrac{(d+3k) \cdot (1-2x)}{4} \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}\dfrac{(d-k) \cdot (x+2x^2)}{4} \end{array}\right)=T(d,k)[/tex]

[tex]\left(\begin{array}{ccc}\dfrac{d-2dx+3k-6kx}{4} \end{array}\right) +\left(\begin{array}{ccc}\dfrac{dx+2dx^2-kx-2kx^2}{4} \end{array}\right)=T(d,k)[/tex]

[tex]\left(\begin{array}{ccc}\dfrac{d-dx+2dx^2-7kx+3k-2kx^2}{4} \end{array}\right) =T(d,k)[/tex]

[tex]\boxed{T(d,k)=\dfrac{d-dx+2dx^2-7kx+3k-2kx^2}{4} }[/tex]

Aqui está a transformação T(d,k) procurada