✅ O vetor w pertence a imagem da transformação linear T.

☁️ Definição.: Seja [tex] \rm T: E\longrightarrow F [/tex] uma transformação linear. A imagem de [tex] \rm T [/tex] denotada por [tex] \rm T(E) [/tex] ou [tex] \rm Im(T) [/tex] é o conjunto dos vetores [tex] \rm v [/tex] pertencentes a [tex] \rm F [/tex], tais que [tex] \rm v = T(u) [/tex], onde [tex] \rm u [/tex] pertence a [tex] \rm E [/tex].

[tex] \Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad Im(T) = T(E) = \{v\in F \mid v = T(u),~\forall\,u \in E\} \qquad}}} [/tex]

✍️ Solução: Seja [tex] \rm T:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3 [/tex] dada por [tex] \rm T(x,y,z) = (2x-y, x + z, y - z) [/tex]. De fato,

[tex] \large\begin{array}{lr}\rm T(\mathbb{R}^3) = \{(2x-y, x + z, y - z)\in \mathbb{R}^3 \mid (2x-y, x + z, y - z)=T(x,y,z) \} \end{array} [/tex]

O vetor [tex] \rm (3,3,0) [/tex] pertence a imagem se [tex] \rm T(x,y,z) = (3,3,0) [/tex], i.e.

[tex] \large\begin{array}{lr} \begin{cases} \rm 2x -y = 3 \\ \rm x + z = 3 \\\rm y-z = 0 \Rightarrow y = z \end{cases} \sim \begin{cases} \rm 2x - y = 3 \quad\textcircled{1} \\\rm x + y = 3 \quad~ \: \textcircled{2} \end{cases} \\\\\rm \textcircled{1} + \textcircled{2} \Rightarrow 3x = 6 \therefore~x = 2 \\\\\rm x + z = 3 \Rightarrow z = 1 = y \\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:T(2,1,1)=(3,3,0)\in Im(T)}}}}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare\end{array} [/tex]

✔️ O vetor dado pertence a imagem de T.

⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre Álgebra Linear:

[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]