Para encontrar a transformação linear T(x, y) usando os valores dados T(1, 1) e T(3, -1), você pode começar determinando a regra que relaciona os vetores de entrada com os valores de saída.

Primeiro, vamos calcular T(1, 0) e T(0, 1) usando a linearidade da transformação:

   T(1, 0) = T(1 * (1, 1) - 1 * (3, -1))

   = 1 * T(1, 1) - 1 * T(3, -1)

   = (1 - 2x²) - (x + 2x²)

   = 1 - 2x² - x - 2x²

   = (1 - x) - 4x²

   T(0, 1) = T(1 * (1, 1) - 3 * (3, -1))

   = 1 * T(1, 1) - 3 * T(3, -1)

   = (1 - 2x²) - 3 * (x + 2x²)

   = (1 - 2x²) - (3x + 6x²)

   = 1 - 2x² - 3x - 6x²

   = (1 - 3x) - 8x²

Agora, você pode expressar a transformação linear T(x, y) usando as informações acima:

T(x, y) = T(x * (1, 0) + y * (0, 1))

= x * T(1, 0) + y * T(0, 1)

= x * (1 - x) - 4x² + y * (1 - 3x) - 8x²

= x - x² - 4x² + y - 3xy - 8x²

Assim, a transformação linear T(x, y) é dada por:

T(x, y) = x - x² - 4x² + y - 3xy - 8x²

Simplificando, você pode reorganizar os termos:

T(x, y) = (x + y) - (x² + 3xy + 12x²)

Então, a transformação linear T(x, y) é T(x, y) = (x + y) - (x² + 3xy + 12x²).