A área entre as funções y = e^(-x) , y = x+1 e x = -1 é A = e - 3/2 ou A = e^(-3/2) . Eu encontrei que seria -3/2 mas o livro diz que o -3/2 seria o expoente tlgd?Alguem sabe? Fiz o seguinte cálculo.
[tex]\int\limits^{0}_{-1}{e^{-x}-(x+1)} \, dx =\int\limits^{0}_{-1} {e^{-x}-x-1dx= \left\begin{array}{ccc}-e^{-x}-\dfrac{x^{2}}{2}-x\end{array}\right] \limits^{0}_{-1}=[/tex]
[tex]-1 - \left[\begin{array}{ccc}-e^{1}-\dfrac{1}{2}+1\end{array}\right]=-1+e+\frac{1}{2}-1=-2+e+\frac{1}{2}= \boxed{\frac{-3}{2}+e}[/tex]
Não vjo uma maneira dessa integral resultar em e^(-3/2).
[tex]\int\limits^{0}_{-1}{e^{-x}-(x+1)} \, dx =\int\limits^{0}_{-1} {e^{-x}-x-1dx= \left\begin{array}{ccc}-e^{-x}-\dfrac{x^{2}}{2}-x\end{array}\right] \limits^{0}_{-1}=[/tex]
[tex]-1 - \left[\begin{array}{ccc}-e^{1}-\dfrac{1}{2}+1\end{array}\right]=-1+e+\frac{1}{2}-1=-2+e+\frac{1}{2}= \boxed{\frac{-3}{2}+e}[/tex]
Não vjo uma maneira dessa integral resultar em e^(-3/2).
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Montando a integral, temos:
[tex] \int \limits_{ - 1}^{0} e {}^{ - x} - (x + 1) \: dx \\ \\ \int \limits_{ - 1}^{0} e {}^{ - x} \: dx - \int \limits_{ - 1}^{0} x \: dx - \int \limits_{ - 1}^{0} 1 \: dx \\ \\ \int \limits_{ - 1}^{0} e {}^{ - x} dx - \frac{x {}^{2} }{2} \bigg| _{ - 1}^{0} - x\bigg| _{ - 1}^{0}[/tex]
Resolvendo essa integral por substituição:
[tex] \int e {}^{ - x} dx \to u = - x \\ \\ \frac{du}{dx} = - 1 \: \to \: dx = - du \\ \\ \int e {}^{u} .( - du) \: \to - \int e {}^{u} du = - e {}^{ - x} [/tex]
Substituindo este resultado:
[tex] - e {}^{ - x} \bigg| _{ - 1}^{0} - \frac{x {}^{2} }{2} \bigg| _{ - 1}^{0} - x\bigg| _{ - 1}^{0} \\ \\( - e {}^{ - 0} + e {}^{ - ( - 1)} ) - \left( - \frac{0 {}^{2} }{2} + \frac{( - 1) {}^{2} }{2} \right) - (0 + 1) \\ \\ ( - 1 + e) - \frac{1}{2} - 1 \: \to \: e - \frac{1}{2} - 2 \\ \\ e - \frac{1 - 4}{2} \: \to \: \boxed{e - \frac{3}{2} }[/tex]
Creio que não seja expoente mesmo.