Qual a área entre as curvas x = y² e y = - 1x/2. Faça com limites de integração em função do y.
Lista de comentários
johnvitorjo55
Para encontrar a área entre as curvas \(x = y^2\) e \(y = -\frac{1}{2}x\), você pode usar integração definida em relação a \(y\). Primeiro, você precisa determinar os limites de integração em função de \(y\) e, em seguida, calcular a integral definida da diferença entre as duas funções. Aqui está o passo a passo:
1. Encontre os pontos de interseção das duas curvas \(x = y^2\) e \(y = -\frac{1}{2}x\). Para isso, iguale as duas equações: \(y^2 = -\frac{1}{2}y\)
2. Resolva a equação acima para encontrar os valores de \(y\) que correspondem aos pontos de interseção. Você provavelmente encontrará dois valores de \(y\).
3. Esses valores de \(y\) serão seus limites de integração para a variável \(y\). Vamos chamá-los de \(y_1\) e \(y_2\), onde \(y_1 < y_2\).
4. Agora, calcule a integral definida da diferença entre as duas funções de \(y_1\) a \(y_2\): \(\int_{y_1}^{y_2} (y^2 - (-\frac{1}{2}y)) dy\)
5. Resolva essa integral para encontrar a área entre as curvas.
Lembre-se de que o resultado será um valor positivo que representa a área entre as curvas.
Para calcular a área entre as curvas \(x = y^2\) e \(y = -\frac{x}{2}\), você pode usar o método de integração em relação a \(y\). Primeiro, vamos encontrar os limites de integração em função de \(y\).
Primeiro, igualaremos as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
\(y^2 = -\frac{x}{2}\)
Dado que \(x = y^2\), podemos substituir \(x\) na segunda equação:
\(y^2 = -\frac{y^2}{2}\)
Agora, multiplique ambos os lados por -2 para eliminar a fração:
\(-2y^2 = -y^2\)
Agora, some \(y^2\) em ambos os lados:
\(-y^2 + 2y^2 = 0\)
\(y^2 = 0\)
Agora, calcule a raiz quadrada de ambos os lados:
\(y = 0\)
Então, as curvas se intersectam em \(y = 0\). Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos encontrar os limites de integração para \(y\). A área entre as curvas será calculada de \(y = 0\) até o ponto mais alto da curva \(y = -\frac{x}{2}\), que ocorre quando \(x = 0\).
Portanto, os limites de integração em relação a \(y\) são de 0 a \(-\frac{0}{2} = 0\).
Agora, você pode calcular a área usando a seguinte integral:
Lista de comentários
1. Encontre os pontos de interseção das duas curvas \(x = y^2\) e \(y = -\frac{1}{2}x\). Para isso, iguale as duas equações:
\(y^2 = -\frac{1}{2}y\)
2. Resolva a equação acima para encontrar os valores de \(y\) que correspondem aos pontos de interseção. Você provavelmente encontrará dois valores de \(y\).
3. Esses valores de \(y\) serão seus limites de integração para a variável \(y\). Vamos chamá-los de \(y_1\) e \(y_2\), onde \(y_1 < y_2\).
4. Agora, calcule a integral definida da diferença entre as duas funções de \(y_1\) a \(y_2\):
\(\int_{y_1}^{y_2} (y^2 - (-\frac{1}{2}y)) dy\)
5. Resolva essa integral para encontrar a área entre as curvas.
Lembre-se de que o resultado será um valor positivo que representa a área entre as curvas.
Explicação passo-a-passo:
Para calcular a área entre as curvas \(x = y^2\) e \(y = -\frac{x}{2}\), você pode usar o método de integração em relação a \(y\). Primeiro, vamos encontrar os limites de integração em função de \(y\).
Primeiro, igualaremos as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
\(y^2 = -\frac{x}{2}\)
Dado que \(x = y^2\), podemos substituir \(x\) na segunda equação:
\(y^2 = -\frac{y^2}{2}\)
Agora, multiplique ambos os lados por -2 para eliminar a fração:
\(-2y^2 = -y^2\)
Agora, some \(y^2\) em ambos os lados:
\(-y^2 + 2y^2 = 0\)
\(y^2 = 0\)
Agora, calcule a raiz quadrada de ambos os lados:
\(y = 0\)
Então, as curvas se intersectam em \(y = 0\). Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos encontrar os limites de integração para \(y\). A área entre as curvas será calculada de \(y = 0\) até o ponto mais alto da curva \(y = -\frac{x}{2}\), que ocorre quando \(x = 0\).
Portanto, os limites de integração em relação a \(y\) são de 0 a \(-\frac{0}{2} = 0\).
Agora, você pode calcular a área usando a seguinte integral:
\[A = \int_{0}^{0} \left(y - \left(-\frac{x}{2}\right)\right) \, dy\]
Note que a integral será igual a zero, já que estamos calculando a área entre duas curvas que não se sobrepõem no intervalo de integração.
Portanto, a área entre as curvas \(x = y^2\) e \(y = -\frac{x}{2}\) é igual a 0 unidades quadradas.