Pelo que eu vi das suas outras perguntas, acho que você saiba utilizar a regra de L'Hopital. Essa técnica nos diz que quando temos estes limites:

[tex] \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \: \: \: ou \: \: \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \infty }{ \infty } \\ [/tex]

Podemos fazer a derivação da função do numerador e denominador, isto é:

[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x \to a} \frac{ \frac{d}{dx} f(x)}{ \frac{d}{dx} g(x)} \\ [/tex]

• Lembrando que a derivação pode ser feita até a indeterminação ser removida, ou seja, quando você substituir o valor a qual o "x" tende e a indeterminação perdurar, você pode derivar mais uma vez e fazer o teste e assim sucessivamente.

Utilizando esse conhecimento para o primeiro limite, pois só de observar sabemos que o resultado será 0/0, ou seja, regra é aplicável.

[tex]\lim_{x \to0} \frac{e^{ax}- e^{bx} }{ \sin\:ax- \sin\:bx} =\lim_{x \to0} \frac{e^{a.0}- e^{b.0} }{ \sin\:a.0- \sin\:b.0} = \frac{0}{0} \\ \\ \lim_{x \to0} \frac{ \frac{d}{dx} (e^{ax}- e^{bx} )}{ \frac{d}{dx} ( \sin\:ax- \sin\:bx)} = \lim_{x \to0} \frac{ae {}^{ax} - be {}^{bx} }{ a \cos ax - b\cos bx} [/tex]

Vamos substituir o valor mais uma vez para analisar se a indeterminação sumiu:

[tex] \lim_{x \to0} \frac{ae {}^{ax} - be {}^{bx} }{ a \cos ax - b\cos bx} = \lim_{x \to0} \frac{ae {}^{a.0} - be {}^{b.0} }{ a \cos a.0 - b\cos b.0} \\ \\ \lim_{x \to0} \frac{a.1 - b.1 }{ a.1 - b.1} = \lim_{x \to0}1 = \boxed{ 1}[/tex]

Para o segundo limite temos:

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{ \cos2x- \cos3x}{x^{2} } = \lim_{x \to 0} \frac{ \cos2.0- \cos3.0}{0^{2} } = \frac{0}{0} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{d}{dx} ( \cos2x- \cos3x)}{ \frac{d}{dx}( x^{2}) } = \lim_{x \to 0} \frac{ - 2.\sin(2x) + 3 \sin(3x)}{ 2x}[/tex]

Vamos testar a substituição do valor:

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{ - 2.\sin(2x) + 3 \sin(3x)}{ 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{ - 2.\sin(2.0) + 3 \sin(3.0)}{ 2.0} = \frac{0}{0} \\ [/tex]

A indeterminação ainda se mantém, então vamos derivar mais uma vez.

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{ \frac{d}{dx} ( - 2.\sin(2x) + 3 \sin(3x))}{ \frac{d}{dx} (2x)} =\lim_{x \to 0} \frac{ - 4 \cos(2x) + 9 \cos(3x)}{2} \\ [/tex]

Substituindo o valor novamente:

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{ - 4 \cos(2.0) + 9 \cos(3.0)}{2} = \lim_{x \to 0} \frac{ - 4.1+ 9.1}{2} = \boxed{ \frac{5}{2} } \\ [/tex]