Para resolver essa questão, podemos destrinchar ela em várias partes, onde a área total é a soma delas.

[tex]A_t=A_{verde}+A_{azul} +A_{roxo}+A_{verm} \\ [/tex]

Montando as integrais, temos:

[tex]A_{verde} = \int_{ - 4}^{0} (x + 2) - ( - 2) \: dx= 8 \: u.a \\ \\ A_{azul} = \int_{ - 4}^{0}x + 2 - \sqrt{x} \: dx = \frac{8}{3} \: u.a \\ \\ A_{vermelho} = \int_{0}^{4} ( - \sqrt{x} ) - ( - 2) \: dx = \frac{11}{6} \: u.a \\ \\ A_{roxo} = \int_{1}^{9}3 - \sqrt{x} \: dx = \frac{20}{3} \: u.a[/tex]

Somando todos os valores:

[tex] \boxed{A_t = 8 + \frac{8}{3} + \frac{11}{6} + \frac{20}{3} = \frac{115}{6} \: u.a}[/tex]