Calcule a integral de linha, em que C é a curva dada. a) ∫c y ds, C: x=t², y= t, 0 ≤ t ≤2 b) ∫c xy³ .... Pergunta de ideia deCaahta

December 2019 1 68 Report

Calcule a integral de linha, em que C é a curva dada.

a) ∫c y ds, C: x=t², y= t, 0 ≤ t ≤2

b) ∫c xy³ ds, C: x= 4sent, y= 4cos t , z=3t, 0≤ t ≤ $\frac{ \pi}{2}$

Lista de comentários

deividsilva784 A)

Seja r = xi + yj + zk

Sendo que, dz = 0, com isso torna-se apenas:

$r = xi+yj$

Ou seja,

$r = t^2i+tj$

Por outro lado,

$\\ \frac{dx}{dt} = \frac{d(t^2)}{dt} 
 \\ 
 \\ \frac{dx}{dt} = 2t
$

E

$\\ \frac{dy}{dt} = \frac{d(t)}{dt} 
 \\ 
 \\ \frac{dy}{dt} = 1$

Sabendo que:

$\\ ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt} )^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt} )^2} dt\\ 
 \\ Portanto,
 \\ 
 \\ ds = \sqrt{(2t)^2+(1)^2+(0)^2}dt = \sqrt{4t^2+1}dt$

Tinhamos a integral de linha de "yds"

Substituindo y = t

E "ds" pela raiz encontrada

$\int\limits^2_0 {t} \, \sqrt{4t^2+1} dt$

Fazendo "u" = 4t² + 1

$\\ u = 4t^2+1
 \\ 
 \\ \frac{du}{dt} = 8t + 0
 \\ 
 \\ \frac{du}{8} = tdt$
------------------------------

Substituindo na integral acima:

$\int\limits^2_0 {t \sqrt{4t^2+1} } \, dt = \int\limits^2_0 { \sqrt{u} } \, \frac{du}{8}$

Vamos mudar o limite de integração, fica mais fácil

Tinhamos , u = 4t²+1

Para t = 0

U₀ = 1

Para t = 2

U₂ = 17
-----------------------------

Então,

$\\ = \int\limits^ \frac{17}{} _1 { \sqrt{u} } \, \frac{du}{8} 
 \\ 
 \\ = \int\limits^ \frac{17}{} _1 {u^ \frac{1}{2} } \, \frac{du}{8} 
 \\ 
 \\ = \frac{u^ \frac{3}{2} } { \frac{3}{2} } . \frac{1}{8} |(1,17)
 \\ 
 \\ = \frac{ \sqrt{u^3} } {12} |(1,17)
 \\ 
 \\ = \frac{ \sqrt{17^3} } {12}-\frac{ \sqrt{1^3} } {12}
 \\ 
 \\ = \frac{ 17\sqrt{17} } {12}-\frac{ 1} {12}
 \\ 
 \\ = 5,7577$
-----------------------------------------

B)

Para "r = xi + yj + zk = 4senti +4costj +3tk

Sendo que:

$\\ \frac{dx}{dt} = \frac{d(4sent)}{dt} = 4cost
 \\ 
 \\ \frac{dy}{dt} = \frac{d(4cost)}{dt} = -4sent
 \\ 
 \\ \frac{dz}{dt} = \frac{d(3t)}{dt} = 3
 \\ 
 \\ Portanto,
 \\ 
 \\ ds = \sqrt{( \frac{dx}{dt})^2+ (\frac{dy}{dt})^2+( \frac{dz}{dt} )^2 }dt \\ 
 \\ ds = \sqrt{(4cost)^2+(-4sent)^2+(3)^2}dt \\ 
 \\ ds = \sqrt{16cos^2t+16sen^2t+9}dt \\ \\ 
 \\ 
 \\ ds = \sqrt{16(cos^2t+sen^2t)+9}dt \\ 
 \\ Mas, cos^2+sen^2t = 1
 \\ 
 \\ ds = \sqrt{16+9}dt = 5dt$

Sendo, x = 4sent e y = 4cost

xy³ = (4sent).(4cost)³

xy³ = 4sent . 64cos³t

xy³ = 256 sent . cos³t
-----------------------------------------

∵

$\\ \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _ 0 {256 .sent.cos^3t . (5dt)} \, 
 \\ 
 \\ Com, u = cost
 \\ 
 \\ du = -sent dt
 \\ 
 \\ -du = sent dt$

alterando os limites de integração para "u"

Tinhamos que:

u = Cost

Pata t = 0

u = Cos(0) = 1

Pata t = π/2

u = Cos(π/2) = 0
----------------------------

Então, ficamos que:

$\\ = \int\limits^0_1 {256.u^3} \,.5.( -du)
 \\ 
 \\ = -256 . \frac{5u^4}{4} |(1,0)
 \\ 
 \\ =5[ -256 . (0^4/4) - (-256 . 1^4/4)]
 \\ 
 \\ = 5[0 +256 /4]
 \\ 
 \\ = 5 (64)
 \\ 
 \\ = 320$

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