Calcule a integral de linha, em que C é a curva dada. a) ∫c y ds, C: x=t², y= t, 0 ≤ t ≤2 b) ∫c xy³ .... Pergunta de ideia deCaahta

December 2019 1 94 Report

Calcule a integral de linha, em que C é a curva dada.

a) ∫c y ds, C: x=t², y= t, 0 ≤ t ≤2

b) ∫c xy³ ds, C: x= 4sent, y= 4cos t , z=3t, 0≤ t ≤ $\frac{ \pi}{2}$

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deividsilva784 A)

Seja r = xi + yj + zk

Sendo que, dz = 0, com isso torna-se apenas:

$r = xi+yj$

Ou seja,

$r = t^2i+tj$

Por outro lado,

$\\ \frac{dx}{dt} = \frac{d(t^2)}{dt} 
 \\ 
 \\ \frac{dx}{dt} = 2t
$

E

$\\ \frac{dy}{dt} = \frac{d(t)}{dt} 
 \\ 
 \\ \frac{dy}{dt} = 1$

Sabendo que:

$\\ ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt} )^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt} )^2} dt\\ 
 \\ Portanto,
 \\ 
 \\ ds = \sqrt{(2t)^2+(1)^2+(0)^2}dt = \sqrt{4t^2+1}dt$

Tinhamos a integral de linha de "yds"

Substituindo y = t

E "ds" pela raiz encontrada

$\int\limits^2_0 {t} \, \sqrt{4t^2+1} dt$

Fazendo "u" = 4t² + 1

$\\ u = 4t^2+1
 \\ 
 \\ \frac{du}{dt} = 8t + 0
 \\ 
 \\ \frac{du}{8} = tdt$
------------------------------

Substituindo na integral acima:

$\int\limits^2_0 {t \sqrt{4t^2+1} } \, dt = \int\limits^2_0 { \sqrt{u} } \, \frac{du}{8}$

Vamos mudar o limite de integração, fica mais fácil

Tinhamos , u = 4t²+1

Para t = 0

U₀ = 1

Para t = 2

U₂ = 17
-----------------------------

Então,

$\\ = \int\limits^ \frac{17}{} _1 { \sqrt{u} } \, \frac{du}{8} 
 \\ 
 \\ = \int\limits^ \frac{17}{} _1 {u^ \frac{1}{2} } \, \frac{du}{8} 
 \\ 
 \\ = \frac{u^ \frac{3}{2} } { \frac{3}{2} } . \frac{1}{8} |(1,17)
 \\ 
 \\ = \frac{ \sqrt{u^3} } {12} |(1,17)
 \\ 
 \\ = \frac{ \sqrt{17^3} } {12}-\frac{ \sqrt{1^3} } {12}
 \\ 
 \\ = \frac{ 17\sqrt{17} } {12}-\frac{ 1} {12}
 \\ 
 \\ = 5,7577$
-----------------------------------------

B)

Para "r = xi + yj + zk = 4senti +4costj +3tk

Sendo que:

$\\ \frac{dx}{dt} = \frac{d(4sent)}{dt} = 4cost
 \\ 
 \\ \frac{dy}{dt} = \frac{d(4cost)}{dt} = -4sent
 \\ 
 \\ \frac{dz}{dt} = \frac{d(3t)}{dt} = 3
 \\ 
 \\ Portanto,
 \\ 
 \\ ds = \sqrt{( \frac{dx}{dt})^2+ (\frac{dy}{dt})^2+( \frac{dz}{dt} )^2 }dt \\ 
 \\ ds = \sqrt{(4cost)^2+(-4sent)^2+(3)^2}dt \\ 
 \\ ds = \sqrt{16cos^2t+16sen^2t+9}dt \\ \\ 
 \\ 
 \\ ds = \sqrt{16(cos^2t+sen^2t)+9}dt \\ 
 \\ Mas, cos^2+sen^2t = 1
 \\ 
 \\ ds = \sqrt{16+9}dt = 5dt$

Sendo, x = 4sent e y = 4cost

xy³ = (4sent).(4cost)³

xy³ = 4sent . 64cos³t

xy³ = 256 sent . cos³t
-----------------------------------------

∵

$\\ \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _ 0 {256 .sent.cos^3t . (5dt)} \, 
 \\ 
 \\ Com, u = cost
 \\ 
 \\ du = -sent dt
 \\ 
 \\ -du = sent dt$

alterando os limites de integração para "u"

Tinhamos que:

u = Cost

Pata t = 0

u = Cos(0) = 1

Pata t = π/2

u = Cos(π/2) = 0
----------------------------

Então, ficamos que:

$\\ = \int\limits^0_1 {256.u^3} \,.5.( -du)
 \\ 
 \\ = -256 . \frac{5u^4}{4} |(1,0)
 \\ 
 \\ =5[ -256 . (0^4/4) - (-256 . 1^4/4)]
 \\ 
 \\ = 5[0 +256 /4]
 \\ 
 \\ = 5 (64)
 \\ 
 \\ = 320$

3 votes Thanks 2

caahta Muito obrigada!

deividsilva784 Por nada :)

caahta Mandei mais algumas, se puder ajudar. Agradeço muito =D

Resolva as equações: a) log4(x+3)=1/2 b)log3(x+5)=log3(3-x) c) log7(x+2) + log 7(x-2)=log7 5 d) log2 (x-1) - 2= log2 7

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caahta July 2022 | 0 Respostas

Resolva a equação exponencial: 3^x+1 + 81/3^x = 36

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Caahta January 2020 | 0 Respostas

5) Resolva as equações diferencias de segunda ordem abaixo, encontre a solução particular dos (PVI). d) 2y'' + y' - y = 0 onde: y(0) = 3, y'(0) = 3

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Caahta December 2019 | 0 Respostas

Resolva a equação diferencial de segunda ordem abaixo e encontre a solução particular dos (PVI) y" + 2y' + y = ( 2 + t ) y(0) = 0 y'(0) = 1

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Caahta December 2019 | 0 Respostas

Calcule ∫c (x+y+z), onde C é o quadrado de vértices A(1,0,1) , B(1,1,1), C(0,1,1) e D(0,0,1). Parametrizar os segmentos de reta que formam os lados do quadrado. Ver anexo:

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Resolva as equações: a) log4(x+3)=1/2 b)log3(x+5)=log3(3-x) c) log7(x+2) + log 7(x-2)=log7 5 d) log2 (x-1) - 2= log2 7

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Resolva a equação diferencial de segunda ordem abaixo e encontre a solução particular dos (PVI) y" + 2y' + y = ( 2 + t ) y(0) = 0 y'(0) = 1

Derivada: Yp = onde, K = -1 e h=2 Preciso da: Yp= ? Y'p =? Y"p = ?

Calcule ∫c (2x-y+z) ds, onde C é o segmento de reta que liga A (1,2,3) a B ( 2,0,1)

Calcule ∫c (3y - √z) ds, onde C é o arco da parábola z=y² e x =1 de A(1,0,0) a B(1,2,4). Veja anexo:

Calcule ∫c y(x-z) ds, onde C é a interseção das superfícies x²+y²+z²= 9 e x+z= 3 veja anexo:

Calcule ∫c (x+y) ds, onde C é a interseção das superfícies z=x²+y² e z =4 Veja anexo:

Calcule ∫c (x+y+z), onde C é o quadrado de vértices A(1,0,1) , B(1,1,1), C(0,1,1) e D(0,0,1). Parametrizar os segmentos de reta que formam os lados do quadrado. Ver anexo:

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