5) Resolva as equações diferencias de segunda ordem abaixo, encontre a solução particular dos (PVI).... Pergunta de ideia deCaahta

January 2020 1 58 Report

5) Resolva as equações diferencias de segunda ordem abaixo, encontre a solução
particular dos (PVI).

d) 2y'' + y' - y = 0 onde: y(0) = 3, y'(0) = 3

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Lukyo

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Resolver o problema de valor inicial:

2y'' + y' – y = 0; y(0) = 3, y'(0) = 3.

Temos uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem, linear, homogênea e a coeficientes constantes.

• Encontrando as raízes do polinômio característico:

2λ² + λ – 1 = 0   ———> a = 2, b = 1, c = – 1

Δ = b² – 4ac

Δ = 1² – 4 · 2 · (– 1)

Δ = 1 + 8

Δ = 9

Δ = 3²

      – b ± √Δ
λ = ——————
         2a

      – 1 ± √3²
λ = ——————
      2 · 2

   – 1 ± 3
λ = —————
      4

   – 1 – 3 – 1 + 3
λ₁ = —————    e    λ₂ = —————
       4 4

   – 4       2
λ₁ = ———    e    λ₂ = ——
      4       4

      1
λ₁ = – 1    e    λ₂ = —— <———   raízes
      2

As raízes do polinômio característico são reais e distintas. Logo, a base geradora para a solução da EDO homogênea é

$\mathsf{\left\{e^{\lambda_1 x},\,e^{\lambda_2 x}\right\}}\\\\
\mathsf{\left\{e^{-x},\,e^{(1/2)x}\right\}}$

Solução geral da EDO homogênea:

$\mathsf{y(x)=C_1\,e^{-x}+C_2\,e^{(1/2)x}}$ ✔

—————

Para determinar as constantes C₁ e C₂, usamos as informações dadas pelo PVI:

•   $\mathsf{y(0)=3}$

$\mathsf{C_1\,e^{-0}+C_2\,e^{(1/2)\cdot 0}=3}\\\\
\mathsf{C_1\,e^0+C_2\,e^0=3}\\\\
\mathsf{C_1\cdot 1+C_2\cdot 1=3}\\\\
\mathsf{C_1+C_2=3\qquad\quad (i)}$

•   $\mathsf{y'(0)=3}$

Derivando y com relação a x, obtemos

$\mathsf{y'(x)=C_1\cdot \big(\!-e^{-x}\big)+C_2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,e^{(1/2)x}\right)}$

$\mathsf{y'(x)=-\,C_1\,e^{-x}+\dfrac{1}{2}\,C_2\,e^{(1/2)x}}$ ✔

Portanto, devemos ter

$\mathsf{-\,C_1\,e^{-0}+\dfrac{1}{2}\,C_2\,e^{(1/2)\cdot 0}=3}\\\\\\
\mathsf{-\,C_1+\dfrac{1}{2}\,C_2=3\quad\longrightarrow\quad \times (-2)}\\\\\\
\mathsf{2C_1-C_2=-6\qquad\quad(ii)}$

Agora, resolvemos o sistema formado pelas equações (i) e (ii):

   C₁ + C₂ = 3 (i)
2C₁ – C₂ = – 6 (ii)

Somando as duas equações membro a membro, eliminamos C₂, e obtemos

C₁ + 2C₁ = 3 – 6

3C₁ = – 3

       – 3
C₁ = ———
   3

C₁ = – 1 ✔

Substituindo na equação (i), obtemos

– 1 + C₂ = 3

C₂ = 3 + 1

C₂ = 4 ✔

—————

Portanto, a solução para o PVI dado é

$\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{y(x)=-\,e^{-x}+4e^{(1/2)x}}\end{array}}\quad\longleftarrow\quad \textsf{esta \'e a resposta.}$

Bons estudos! :-)

Tags: equação diferencial ordinária linear homogênea edo cálculo problema valor inicial pvi cálculo diferencial integral

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