Calcule ∫c (x+y+z), onde C é o quadrado de vértices A(1,0,1) , B(1,1,1), C(0,1,1) e D(0,0,1).
Parametrizar os segmentos de reta que formam os lados do quadrado.
Ver anexo:
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AB = B - A
AB = (1,1,1)-(1,0,1)
AB = (0i , 1j, 0k) = (a, b , c) <= Vetor diretor
r(t) = (xo , yo, zo) + t(a, b, c)
Escolhendo o ponto A = (1, 0, 1)
r(t) = (1 , 0 , 1) + t(0 ,1, 0)
x(t) = 1+t(0) = 1
y(t) = 0 +t(1) = t
z(t) = 1 +t(0) = 1
--------------------------------
Calculando as derivadas:
dx/dt = 0
dy/dt = 1
dz/dt = 0
---------------------------
Calculando o limite de integração
Escolhendo a coordenada y(t)
y(t) = t
Para y = 0 em "A"
0 = t
t = 0
Para y = 1 em "B"
1 = t
t = 1
------------------------------------
Calculando "ds"
Onde, ds é a raiz quadrada das derivadas
ds = √(0²+1²+0²)dt = dt
-------------------------------------------------
Dessa maneira,
-------------------------------------------------
Agora para BC
BC = C - B
BC = (0, 1 ,1 ) - (1 ,1, 1)
BC = (-1i, 0j, 0k)
Como,
r(t) = (xo, yo, zo) + t(a, b, c)
Escolhendo (xo, yo, zo) = C
r(t) = (0, 1, 1) + t(-1, 0 , 0 )
r(t) = -ti +1j + 1k
Sendo que:
x(t) = -t
y(t) = 1
z(t) = 1
-------------------------------
Calculando as derivadas:
dx/dt = - 1
dy/dt = 0
dz/dt = 0
---------------------------------
Calculando "ds"
Onde, "ds" é a raiz quadrada das derivadas ao quadrado
ds = √(-1)²+0²+0² dt = 1dt
------------------------------------
Calculando o limite de integração
Pegando a coordenada x(t)
x(t) = -t
Para x = 1 em "B"
1 = -t
t = -1
Para x = 0 em "C"
0 = -t
t = 0
---------------------------------
Portanto,
------------------------------------------------------
Para o segmento CD
CD = D - C
CD = (0,0,1) - (0,1,1)
CD = (0i, -1j, 0k)
Sendo que,
r(t) = (xo, yo, zo) + t(a, b , c)
Escolhendo o ponto D = (0,0,1)
r(t) = (0, 0 ,1) + t(0, -1, 0)
Ou seja:
x(t) = 0
y(t) = - t
z(t) = 1
---------------------------
Calculando o limite de integração a partir de y(t)
Para y = 1 em "C"
1 = -t
t = -1
Para y = 0 em "D"
0 = -t
t = 0
------------------------
Calculando as derivadas de x, y e z:
dx/dt = 0
dy/dt = -1
dz/dt = 0
-----------------------------
Então, ds = √ (0)²+(-1)²+(0)² dt = 1dt
Dessa maneira:
--------------------------------------------------
E por fim, temos o segmento DA
DA = A - D
DA = (1, 0, 1) - (0,0,1)
DA = (1i, 0j, 0k)
Escolhendo o ponto D = (0,0,1)
Teremos:
r(t) = (0, 0 ,1) + t(1, 0 , 0 )
Desse modo:
x(t) = t
y(t) = 0
z(t) = 1
--------------------------------
Calculando as derivadas:
dx/dt = 1
dy/dt = 0
dz/dt = 0
-------------------------------
Calculando "ds"
ds = √(1)²+0²+0² dt = 1dt
------------------------------
Calculando o limite de integração a partir de x(t)
x(t) = t
Para x = 0 em D
0 = t
t = 0
Para x = 1 em "A"
1 = t
t = 1
---------------------------
Então:
---------------------------
Então teremos que a integral de linha total será: