Calcule ∫c (2x-y+z) ds, onde C é o segmento de reta que liga A (1,2,3) a B ( 2,0,1).... Pergunta de ideia deCaahta

December 2019 1 124 Report

Calcule ∫c (2x-y+z) ds, onde C é o segmento de reta que liga A (1,2,3) a B ( 2,0,1)

Lista de comentários

deividsilva784 Vamos encontrar uma parametrização para esse segmento.

Quando se trata de reta, vale lembrar que:

r(t) = (x₀, y₀, z₀) + t(a, b ,c)

Onde, (x₀, y₀, z₀) é um ponto qualquer pertencente a reta que liga A e B.

Já (a, b , c) é o vetor diretor

Onde,

O vetor diretor é:

AB = B -A

AB = (2 , 0 ,1 ) - (1 ,2, 3)

AB = (1i, -2j , -2k)

O ponto, pode ser A ou B. Para ficar mais fácil, irei utilizar o ponto B, pois temos um ponto y = 0

Desse modo:

r(t) = (2, 0, 1) + t(1 , -2, -2)

r(t) = (2+t)i -2tj + (1 -2t)k

Sendo que:

x(t) = 2+t

y(t) = -2t

z(t) = 1 -2t

Achando as derivadas:

dx/dt = 1

dy/dt = -2

dz/dt = -2
---------------------------

Desse modo:

$ds = \sqrt{(1)^2+(-2)^2+(-2)^2}dt = 3dt$
---------------------------

Achando os limites de integração

Vamos analisar a coordenada x(t) , poderia ser qualquer uma

x(t) = 2 + t

Quando x for 1 no ponto "A"

1 = 2 + t

t = - 1
----------------------------------------

Quando x for igual a 2 em "B"

2 = 2 + t

t = 0
---------------------------------------

Portanto, a nossa integral fica:

$\\= \int\limits^0_ { \frac{-1}{} } \, [2(2+t)-(-2t)+(1-2t)] 3dt 
 \\ 
 \\ =\int\limits^0_ { \frac{-1}{} } \, (4+2t+2t+1-2t) 3dt 
 \\ 
 \\= \int\limits^0_ { \frac{-1}{} } \, (5+2t) 3dt 
 \\ 
 \\= 3 . (5t + \frac{2t^2}{2} )|(-1,0)
 \\ 
 \\= 3.(5t + t^2)|(-1,0)
 \\ 
 \\= 3.(5.(0)+0^2)-3.(5.(-1)+(-1)^2)
 \\ 
 \\= 0-3.(-5+1)
 \\ 
 \\= -3.(-4)
 \\ 
 \\= 12$

3 votes Thanks 4