Calcule ∫c y² ds, onde C é a semicircunferência da figura abaixo: Ver anexo:.... Pergunta de ideia deCaahta

December 2019 1 76 Report

Calcule ∫c y² ds, onde C é a semicircunferência da figura abaixo:

Ver anexo:

Lista de comentários

deividsilva784 Já temos a curva parametrizada

x(t) = 2cost

y(t) = 2sent

Achando as derivadas:

dx/dt = -2sent

dy/dt = 2cost
----------------------------

"ds" é a raiz quadrada das derivadas ao quadrado

ds = √(-2sent)² +(2cost)² dt

ds = √(4sen²t +4cos²t) dt

Como sen²t+cos²t = 1

ds = √4(sen²+cos²) dt = √4 .dt = 2dt

-----------------------------

Logo, substituindo y = 2sent na integral e ds = 2dt

$\\ \int\limits^ \frac{ 2\pi } {} _ 0 {(2sent)^2} \, 2dt
 \\ 
 \\ =\int\limits^ \frac{ 2\pi } {} _ 0 {(4sen^2t)} \, 2dt
 \\ 
 \\ = 8 . \int\limits^ \frac{ 2\pi } {} _ 0 {sen^2t} \, dt
 \\ 
 \\Mas, sen^2t = \frac{1-cos(2t)}{2} 
 \\ 
 \\ = 8 . \int\limits^ \frac{ 2\pi } {} _ 0 { \frac{1-cos(2t)}{2}} \, dt
 \\ 
 \\ = 4. \int\limits^ \frac{ 2\pi } {} _ 0 {(1-cos2t)} \, dt
 \\ 
 \\ = 4 . ( t - \frac{sen2t}{2} )|(0, 2 \pi )
 \\ 
 \\ = 4 .[( 2 \pi- 0) - 0]
 \\ 
 \\ = 8 \pi$

2 votes Thanks 1

deividsilva784 Essa parametrização que sua professora passou, não acredito que esteja correto. Uma vez que ângulo está variando de 0 até pi/2 . Não temos uma volta completa no ângulo trigonométrico para que "t" esteja entre 0 e 2pi. No entanto, caso ela parametrizasse a adequadamente, ela sim poderia rescrever que o ângulo varia de 0 até 2pi. Mas, acredito que ela reescreveu assim, pois para essa questão, ñ temos x no integrando, e isso ñ influenciou na integral, mas, de qualquer forma não acho correto.

deividsilva784 A cirncunferencia e do tipo: (x-a)^2 + y^2 = a^2

deividsilva784 Deveria ter reescrevido x(t) = a + acost ao invés de acost.

deividsilva784 Dessa forma, após fazer translação de eixo, o ângulo pode variar de 0 até 2pi

deividsilva784 Só tenha cuidado, ñ sei se ela chegou a comentar a vcs, caso a integral tivesse x no integrando. Jamais deveria usar essa parametrização.