Explicação passo-a-passo:

Para calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y = x + x², y = x² - 1, e x = 0, em torno do eixo y = 1, você pode usar o método do disco ou do anel. Vamos usar o método do disco. Primeiro, você precisa determinar os limites de integração. Os limites são x = 0 (ponto de origem) e o ponto de interseção entre as curvas, que podemos encontrar igualando as duas equações:

x + x² = x² - 1

Isso nos leva a:

x = -1

Então, os limites de integração são de x = -1 a x = 0.

Agora, escreva a equação da função que representa a distância do eixo de rotação (y = 1) ao ponto na curva y = x + x² ou y = x² - 1. Essa distância é dada por r(x) = 1 - (x + x²) ou r(x) = 1 - (x² - 1).

Substitua r(x) na fórmula do volume do disco:

V = ∫[-1, 0] π * [r(x)]² * dx

Agora, calcule r(x)²:

Para a primeira curva, y = x + x²:

r₁(x) = 1 - (x + x²)

r₁(x)² = (1 - (x + x²))²

Para a segunda curva, y = x² - 1:

r₂(x) = 1 - (x² - 1)

r₂(x)² = (1 - (x² - 1))²

Agora, você pode calcular o volume usando a fórmula do volume do disco:

V = ∫[-1, 0] π * [r₁(x)² - r₂(x)²] * dx

Integre a expressão resultante em relação a x:

V = π * ∫[-1, 0] [(1 - (x + x²))² - (1 - (x² - 1))²] * dx

Agora, calcule a integral definida:

V = π * [Integração de [(1 - (x + x²))² - (1 - (x² - 1))²] de -1 a 0]

V = π * [Integração de [(1 - x - x²)² - (2 - x²)] de -1 a 0]

Calcule a integral e avalie nos limites de integração. O resultado final será o volume do sólido de revolução gerado.