Dada a função horaria de um MHS em unidade SI, x= 2 cos : a) determine a amplitude, a pulsação, a f.... Pergunta de ideia deDani76561

December 2019 1 105 Report

Dada a função horaria de um MHS em unidade SI, x= 2 cos $( \frac{ \pi} {2} t + \frac{ \pi }{2} )$ :

a) determine a amplitude, a pulsação, a fase inicial, o período e a frequência do movimento

b) construa o gráfico da elongação x, em função do tempo t.

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Lukyo

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Em um movimento harmônico simples, a posição x  do corpo em função do instante  t pode ser descrita por uma equação na forma

•   x(t) = A · cos(ωt + φ) (i)

sendo

•   A  a amplitude da oscilação;

•   ω a frequência angular do movimento (ou pulsação);

•   φ a fase inicial.

O período da oscilação é dado por

T = 2π/ω (ii)

e a frequência f do movimento é o inverso do período:

f = 1/T = ω/(2π) (iii)

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Para esta tarefa, temos

$\mathsf{x(t)=2\,cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}t+\dfrac{\pi}{2}\right)\qquad (metros)}\\\\\\ \mathsf{x(t)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}(t+1)\right]}$

Comparando com a equação (i), tiramos que

• A amplitude é A = 2 m;

• A pulsação é ω = π/2 rad/s;

• A fase inicial é φ = π/2 rad.

Calculando o período:

T = 2π/ω

T = 2π/(π/2)

T = 2π · 2/π

T = 4 s ✔

A frequência é o inverso do período:

f = 1/T

f = 1/4

f = 0,25 Hz ✔

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b) Para esboçar o gráfico da elongação versus tempo, construímos uma tabela, fazendo o argumento do cosseno

ωt + φ

variar em um período completo (no caso aqui, 4 segundos)

Na prática, particionamos o período T em 4 partes iguais. Nesta tarefa, por exemplo, tomaremos passos de T/4 = 1 s após o primeiro instante em que a posição se anula.

Aqui, o argumento do cosseno é

$\mathsf{\omega t+\varphi}\\\\ =\mathsf{\dfrac{\pi}{2}t+\dfrac{\pi}{2}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{\pi}{2}\cdot (t+1)}$

Achando a posição inicial:

• Para t = 0:

$\mathsf{x(0)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}(0+1)\right]}$
$\mathsf{x(0)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}\right]}\\\\\\ \mathsf{x(0)=2\cdot 0}\\\\ \mathsf{x(0)=0}$

Como já estamos partindo de uma posição nula, vamos analisar agora os valores de x dando passos de comprimento T/4 = 1 s:

• Para t = 0 + 1 = 1 s:

$\mathsf{x(1)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}(1+1)\right]}\\\\\\ \mathsf{x(1)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}\cdot 2\right]}\\\\\\ \mathsf{x(1)=2\,cos[\pi]}\\\\ \mathsf{x(1)=2\cdot (-1)}\\\\ \mathsf{x(1)=-2~m}$

• Para t = 1 + 1 = 2 s:

$\mathsf{x(2)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}(2+1)\right]}\\\\\\ \mathsf{x(2)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}\cdot 3\right]}\\\\\\ \mathsf{x(2)=2\,cos\!\left[\dfrac{3\pi}{2}\right]}\\\\ \mathsf{x(2)=2\cdot 0}\\\\ \mathsf{x(2)=0}$

• Para t = 2 + 1 = 3 s:

$\mathsf{x(3)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}(3+1)\right]}\\\\\\ \mathsf{x(3)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}\cdot 4\right]}\\\\\\ \mathsf{x(3)=2\,cos[2\pi]}\\\\ \mathsf{x(3)=2\cdot 1}\\\\ \mathsf{x(3)=2~m}$

• Para t = 3 + 1 = 4 s:

$\mathsf{x(4)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}(4+1)\right]}\\\\\\ \mathsf{x(4)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}\cdot 5\right]}\\\\\\ \mathsf{x(4)=2\,cos\!\left[\dfrac{5\pi}{2}\right]}\\\\ \mathsf{x(4)=2\cdot 0}\\\\ \mathsf{x(4)=0}$

o que é esperado, pois como percorremos um período completo, voltamos ao mesmo valor da posição inicial, e a função passa a ter o mesmo comportamento. Um movimento harmônico simples é periódico.

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Resumindo, montamos a tabela seguinte, e plotamos os pontos $\big(t,\,x(t)\big)$ no plano:

$\boxed{ \begin{array}{c|c|c} \mathsf{t}&\mathsf{\omega t+\varphi}&\mathsf{x(t)=A\,cos(\omega t+\varphi)}\\ \!\!\!\!\textsf{---------}\!\!\!&\!\!\!\textsf{------------}\!\!\!&\!\!\textsf{--------------------------------}\!\!\!\!\\ \mathsf{0}&\frac{\pi}{2}&\mathsf{0}\\ \!\!\!\!\textsf{---------}\!\!\!&\!\!\!\textsf{------------}\!\!\!&\!\!\textsf{--------------------------------}\!\!\!\!\\ \mathsf{1}&\pi&\mathsf{-2}\\ \!\!\!\!\textsf{---------}\!\!\!&\!\!\!\textsf{------------}\!\!\!&\!\!\textsf{--------------------------------}\!\!\!\!\\ \mathsf{2}&\frac{3\pi}{2}&\mathsf{0}\\ \!\!\!\!\textsf{---------}\!\!\!&\!\!\!\textsf{------------}\!\!\!&\!\!\textsf{--------------------------------}\!\!\!\!\\ \mathsf{3}&2\pi&\mathsf{2}\\ \!\!\!\!\textsf{---------}\!\!\!&\!\!\!\textsf{------------}\!\!\!&\!\!\textsf{--------------------------------}\!\!\!\!\\ \mathsf{4}&\frac{5\pi}{2}&\mathsf{0} \end{array} }$

O gráfico segue em anexo.

Bons estudos! :-)

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