Um pesquisador de educação matemática realizou uma série de experimentos para medir a eficiência de estudo, em %, de seus alunos, durante algumas horas de estudo diário na disciplina de Cálculo III. O pesquisador apontou que a eficiência é adequadamente modelada por uma função do tempo, cuja taxa de variação é expressa por dE/dt = 54 – 18t, em que E é a eficiência do estudo, cujo valor está no intervalo [0, 100]%, e t é o tempo, em horas. O pesquisador afirmou que para a turma analisada, a eficiência era nula em t = 0.
Nessas condições, resolva os itens abaixo:
a) escreva o PVI que descreve a situação e o resolva.
b) qual o domínio da função solução do item (a)?
c) qual a eficiência, em 2 horas de estudo?
d) qual a eficiência máxima de estudo? E quando ocorre?
e) o que acontece com a eficiência de estudo a medida em que o tempo transcorre dentro do domínio da função (domínio obtido em (b))? Justifique seus argumentos apresentando o gráfico da função solução.
Nessas condições, resolva os itens abaixo:
a) escreva o PVI que descreve a situação e o resolva.
b) qual o domínio da função solução do item (a)?
c) qual a eficiência, em 2 horas de estudo?
d) qual a eficiência máxima de estudo? E quando ocorre?
e) o que acontece com a eficiência de estudo a medida em que o tempo transcorre dentro do domínio da função (domínio obtido em (b))? Justifique seus argumentos apresentando o gráfico da função solução.
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Resposta:
a) Resolvamos a equação diferencial do problema:
[tex]\frac{dE}{dt} = 54 - 18t\\\\dE = (54 - 18t)\,dt\\\\\int dE = \int {(54 - 18t)} \, \,dt\\\\E = 54t - 9t^2 + C[/tex]
Haja vista que [tex]E = 0[/tex] para [tex]t = 0[/tex], a constante de integração [tex]C[/tex] é nula. Portanto, a função que representa o modelo desenvolvido pelo pesquisador é a seguinte:
[tex]E(t) = 54t - 9t^2.[/tex]
b) O valor de [tex]E[/tex] varia de 0 a 100%. Logo, o domínio da função será composto por todos os valores de [tex]t[/tex] para os quais [tex]0\leq E\leq 100[/tex]. Resolvamos esse sistema de inequações:
[tex]i)\,\,E \geq 0\\\\54t - 9t^2 \geq 0\\\\-9(t)(t-6) \geq 0\\\\t(t-6) \leq 0\\\\S_i = 0 \leq t\leq 6.[/tex]
[tex]ii)\,\,E \leq 100\\\\54t - 9t^2 \leq 100\\\\-9t^2 + 54t - 100 \leq 0\\\\S_{ii} = R.[/tex]
[tex]D[/tex] = [tex]S_i[/tex] ∩ [tex]S_{ii}[/tex] = {[tex]t[/tex] ∈ ℝ | [tex]0 \leq t \leq 6[/tex]}.
c) Calculemos o valor de E(2):
[tex]E(2) = 54(2) - 9(2)^2[/tex]
[tex]E(2)[/tex] = [tex]72[/tex]%.
d) A eficiência máxima ocorre quando dE/dt = 0. Calculemo-la:
[tex]\frac{dE}{dt}=0\\\\ 54 - 18t = 0\\\\18t = 54\\\\t = \frac{54}{18} = 3\,\,h.[/tex]
[tex]E(3) = 54(3) - 9(3)^2[/tex]
[tex]E(3)[/tex] = [tex]81[/tex]%.
e) O gráfico da função [tex]E(t) = 54t - 9t^2[/tex], definida em [tex][0, 6][/tex], é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.
A eficiência começa nula para [tex]t = 0[/tex] e vai crescendo (a taxas decrescentes, pois [tex]\frac{dE}{dt}[/tex] é uma função decrescente em [tex]D[/tex]) até atingir seu valor máximo quando [tex]t = 3\,\,h,[/tex] que é de [tex]E(3)[/tex] = [tex]81[/tex]%.
Depois de três horas, o valor de [tex]E[/tex] passa a decair, a taxas cada vez maiores (em módulo), até se tornar novamente nulo em [tex]t = 6\,\,h.[/tex]
clique em "iniciar calculadora"
Em "Entrada..." (o cursor do mouse já deverá estar piscando lá ou encontre o campo, fica ao lado de um +)
então digite o abaixo:
E(t)=54t-9t²