(ITA) Os catetos B e C de um triângulo retângulo de altura H(relativa à hipotenusa) são dados pelas seguintes expressões:
Onde k é um número real maior que 1. Calcule o valor de h em função de k.
Onde k é um número real maior que 1. Calcule o valor de h em função de k.
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A²=B²+C²
A²=(√k+1/k)²+(√k-1/k)²
A²=k+1/k+k-1/k
A²=2k
A=√2k
pela relação métrica de um triângulo retângulo
A.H=B.C
√2k.H=(√k+1/k)(√k-1/k)
H=√(k+1/k)(√k-1/k)/(√2k)
elevando ao quadrado por motivos de simplificação
H²=(k+1/k)(k-1/k)/2k
H²=k²-1/k²/2k
voltando a raiz
H=√k²-1/k²/√2k
Resposta:
h={√[(2k^4-2)/k]}/2k
Explicação passo-a-passo:
Em qualquer triângulo retângulo vale a relação a²=b²+c², onde a é hipotenusa b e c são catetos.
então é fácil perceber que a² = (k+ 1/k) +(k - 1/k)
a² = 2k
a = √(2k)
Em qualquer triângulo retângulo o produto dos catetos é igual ao produto da altura pela hipotenusa, ou seja, bc = ah
√(k+1/k).√(k-1/k)=h√(2k)
√(k²-1/k²)=h√(2k)
k=[√(k²-1/k²)]/√(2k), tem que racionalizar
h=[√(k²-1/k²)]√(2k)/√(2k)√(2k)
h=[√(2k³-2k/k²)]/√(4k²)
h=[√(2k³-2/k)]/2k
h={√[(2k^4-2)/k]}/2k