Explicação passo-a-passo:

Para determinar a área entre as curvas y = 2^x, y = 2^(-x) e y = 4, é necessário identificar qual curva está acima da outra em cada intervalo.

No gráfico que você forneceu, parece que a curva y = 4 está no topo, seguida pela curva y = 2^x e, por último, a curva y = 2^(-x). Vamos chamar essas curvas de C1, C2 e C3, respectivamente.

Portanto, podemos escrever a integral da seguinte forma:

Área = ∫[x1, x2] (C1 - C2) dx + ∫[x2, x3] (C1 - C3) dx

Onde x1 e x3 são os pontos de interseção (no caso, -2 e 2) e x2 é o ponto de interseção entre C1 e C3.

Vamos calcular cada integral separadamente:

∫[x1, x2] (C1 - C2) dx:

∫[-2, x2] (2^x - 2^(-x)) dx

∫[-2, x2] (2^x - 1 / 2^x) dx

∫[-2, x2] (2^x - 2^(-x)) / 2^x dx

∫[-2, x2] (2^x/2^x - 2^(-x)/2^x) dx

∫[-2, x2] (1 - 1 / 2^(2x)) dx

Agora, calculamos a segunda integral:

∫[x2, x3] (C1 - C3) dx:

∫[x2, 2] (2^x - 4) dx

∫[x2, 2] (2^x - 4) / 2^x dx

∫[x2, 2] (2^x/2^x - 4/2^x) dx

∫[x2, 2] (1 - 4 / 2^(2x-1)) dx

Agora, basta integrar cada uma dessas expressões e avaliar nos limites de integração correspondentes aos pontos de interseção. O resultado final é a soma das áreas obtidas em cada intervalo de integração.

Observe que a ordem das curvas e dos sinais nos termos da integral pode variar de acordo com a localização do ponto de interseção x2 e a ordem das curvas no gráfico.